解线性方程组的直接方法ppt课件.ppt

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1、Ch3解线性方程组的直接方法求解高斯消元法：思路首先将A化为上三角阵/*upper-triangularmatrix*/，再回代求解/*backwardsubstitution*/。=消元记Step1：设，计算因子将增广矩阵/*augmentedmatrix*/第i行mi1第1行，得到其中Stepk：设，计算因子且计算共进行？步n1回代Whatif?Nouniquesolutionexists.Whatif?Thenwemustfindthesmallestintegerkiwith,andinterchangethek-thro

2、wwiththei-throw.Whatifwecan’tfindsuchk?Nouniquesolutionexists.定理若A的所有顺序主子式/*determinantofleadingprincipalsubmatrices*/均不为0，则高斯消元无需换行即可进行到底，得到唯一解。注：事实上，只要A非奇异，即A1存在，则可通过逐次消元及行交换，将方程组化为三角形方程组，求出唯一解。§1GaussianElimination–TheMethod选主元消去法例：单精度解方程组/*精确解为和*/8个8个用GaussianElimina

3、tion计算：8个小主元/*Smallpivotelement*/可能导致计算失败。全主元消去法/*CompletePivoting*/每一步选绝对值最大的元素为主元素，保证。Stepk:①选取②Ifikkthen交换第k行与第ik行;Ifjkkthen交换第k列与第jk列;③消元注：列交换改变了xi的顺序，须记录交换次序，解完后再换回来。列主元消去法/*PartialPivoting,ormaximalcolumnpivoting*/省去换列的步骤，每次仅选一列中最大的元。例：注：列主元法没有全主元法稳定。例：注意：这两个方程组

4、在数学上严格等价。标度化列主元消去法/*ScaledPartialPivoting*/对每一行计算　　　　　。为省时间，si只在初始时计算一次。以后每一步考虑子列中　最大的aik为主元。注：稳定性介于列主元法和全主元法之间。§1GaussianElimination–PivotingStrategies高斯-若当消去法/*Gauss-JordanMethod*/与GaussianElimination的主要区别：每步不计算mik，而是先将当前主元akk(k)变为1;把akk(k)所在列的上、下元素全消为0;Hey!Isn’titb

5、etterthanGaussianElimination?Whatmakesyousayso?Obviouslywenolongerneedthebackwardsubstitution!You’dbetterwaittillwegothroughthenextsectiontodrawyourconclusion…§1GaussianElimination–Gauss-JordanMethod运算量/*AmountofComputation*/§1GaussianElimination–AmountofComputation由于计算机中

6、乘除/*multiplications/divisions*/运算的时间远远超过加减/*additions/subtractions*/运算的时间，故估计某种算法的运算量时，往往只估计乘除的次数，而且通常以乘除次数的最高次幂为运算量的数量级。GaussianElimination:Stepk：设，计算因子且计算共进行n1步(nk)次(nk)2次(nk)次(nk)(nk+2)次消元乘除次数：1次(ni+1)次回代乘除次数：GaussianElimination的总乘除次数为，运算量为级。§1GaussianEliminatio

7、n–AmountofComputationCompletePivoting:比GaussianElimination多出　比较，保证稳定，但费时。PartialPivoting:比GaussianElimination只多出　比较，略省时，但不保证稳定。ScaledPartialPivoting:比GaussianElimination多出　除法和比较，比列主元法稳定。但若逐次计算si(k)，则比全主元法还慢。Gauss-JordanMethod:运算量约为。故通常只用于求逆矩阵，而不用于解方程组。求逆矩阵即。§2三角分解法/*Ma

8、trixFactorization*/高斯消元法的矩阵形式/*MatrixFormofG.E.*/：Step1:记L1=，则Stepn1:其中Lk=§2MatrixFacto