自动控制原理第四章根轨迹法ppt课件.ppt

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1、第四章根轨迹法第一节根轨迹与根轨迹方程一、根轨迹 当系统的某个参数（如开环增益K）由0到∞变化时，闭环特征根在S平面上运动的轨迹。根轨迹举例例：GK(S)=K/[S(0.5S+1)]=2K/[S(S+2)]  GB(S)=2K/(S2+2S+2K)特征方程：S2+2S+2K=0ks1s2特征根：S1=-1+(1-2K)1/2S2=-1-(1-2K)1/20.00-20.5-1-11.0-1+j-1-j∞-1+j∞-1-j∞根轨迹举例由此关系逐点描绘出K由0到∞变化时，闭环特征根在S平面上运动的

2、轨迹----根轨迹。根轨迹图直观地表示了参数K变化时，闭环特征根S1，S2所发生的变化。根轨迹举例由上述根轨迹图可知：1．当开环增益由0到∞变化时，根轨迹均在S平面的左半部，因此系统对所有K值都是稳定的。2．当0＜K＜0.5时，闭环特征根为实根，系统呈过阻尼状态，阶跃响应为非周期过程。根轨迹举例3．当K=0.5时，闭环特征根为重根，系统呈临界阻尼状态,阶跃响应为非周期过程。4．当K＞0.5时，闭环特征根为共轭复根，系统呈欠阻尼状态，阶跃响应为衰减振荡。5．因为根轨迹的一个起点（开环传递函数的极点

3、）位于坐标原点，所以系统为I型系统。二、根轨迹方程GB(S)=G(S)/[1+G(S)H(S)]绘制根轨迹实质上还是寻求闭环特征方程的根。特征方程:1+G(S)H(S)=0根轨迹方程:Gk(S)=G(S)H(S)=-1（矢量方程）幅值条件:︱G(S)H(S)︱=1幅角条件:∠G(S)H(S)=±(2K+1)π开环传递函数的标准形式绘制根轨迹时开环传递函数的标准形式：K*(S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm)G(S)H(S)=——————————           (S-P1)(S-P

4、2)…(S-Pn)其中：K*——根迹增益     Zm——开环零点Pn——开环极点开环传递函数的标准形式举例例：将下面的开环传递函数化成标准形式10(5S+1)10*5[S+(1/5)]25/3(S+1/5)G(S)H(S)=——————=—————————=———-———(2S+1)(3S+1)2*3(S+1/2)(S+1/3)(S+1/2)(S+1/3)K=10————开环增益K*=25/3———根迹增益K*=K(P1P2…Pn)/(Z1Z2…Zm)第二节绘制根轨迹的基本法则一、根轨迹的分支

5、数 根轨迹在S平面上的分支数等于闭环特征方程的阶数。证明： n阶特征对应有n个特征根。当开环增益K由0到∞变化时，这n个特征根随K变化必然会描绘出n条根轨迹。绘制根轨迹的基本法则二、根轨迹对称于实轴。证明： 闭环特征根若为实数，则必位于实轴上；闭环特征根若为复数，则一定是以共轭形式成对出现。所以根轨迹必对称于实轴。绘制根轨迹的基本法则三、根轨迹的起点和终点根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。如果开环极点数n大于开环零点数m，则有（n-m）条根轨迹终止于无穷远.证明：由根迹方程：   

6、         K*(S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm)   G(S)H(S)=———————————=-1             (S-P1)(S-P2)…(S-Pn)绘制根轨迹的基本法则(S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm) ————————-—=-1/K*=-1/AK  (S-P1)(S-P2)…(S-Pn)其中：A=P1P2…Pn/Z1Z2…Zm起点：K=0，1/AK=∞，上式中只有S→Pi时，等号才成立。起点——开环极点（S→Pi）终点：K=∞，1/AK=0，上式中只

7、有S→Zi时，等号才成立。终点——开环零点（S→Zi）绘制根轨迹的基本法则当n＞m时，只有m条根轨迹趋向于开环零点，还有（n-m）条？n＞m，S→∞，有:(S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm)-1-1 ————————-—=——=——   (S-P1)(S-P2)…(S-Pn)K*AK可写成：左边=1/Sn-m=0当K=∞时，右边=0K=∞（终点）对应于S→∞（趋向无穷远）.即：有（n-m）条根轨迹终止于无穷远。绘制根轨迹的基本法则四、实轴上的根轨迹 实轴上根轨迹区段的右侧，开环零极点数目

8、之和应为奇数。证明： 由幅角条件：∠G(S)H(S)=±(2K+1)π ∠[(S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm)/(S-P1)(S-P2)…(S-Pn)]=±(2K+1)π绘制根轨迹的基本法则一对共轭的开环复数极点（或零点）对S1(在实轴上的试验点)的相角等值反号，相互抵消；而开环复数极点(或零点)又一定成对出现，所以实轴上的根轨迹与复数零(极)点无关。位于S1左边的开环实数零(极)点引向S1的相角为0。位于S1右边的开环实数零(极)点引向S1的相角为π。只有实轴上某一