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1、第四章答案一、温习巩固（1），得特征值解，得，为属于的所有的特征向量。解，得，为属于的所有的特征向量。（2），得特征值解，得，为属于的所有的特征向量。解，得，为属于的所有的特征向量。（3），得特征值解，得，为所有特征向量。解，得为所有特征向量。（4），得特征值解，得，为所有特征向量。12解，得，、和不全为0.2.填空题（1）相似，-1，-1，2；（2），，；（3）；（4）0；（5）3.判断题6、7、9、13、14、15、17、19，20—28，30对，其余题错二、练习提高1、选择题DBDDC2、解：
2、A为3阶方阵，有三个不同的特征值1，0和-1，所以A可相似对角化，即存在可逆阵P，使得，可得3、（1）可相似对角化，对应特征向量分别为相似变换矩阵，可相似对角化，对应特征向量分别为相似变换矩阵，无两个线性无关的特征向量，不可相似对角化，12(2)解(1)有3个互异特征值可对角化对应于的特征向量依次为,,构造矩阵,则有．（3）求的特征值与特征向量．解求的特征向量：,求的特征向量：,不可以对角化，只有两个线性无关的特征向量。12（4）求的特征值与特征向量．解求的特征向量：,求的特征向量：,,（不同时为0
3、）可以相似对角化。，4、设的一个特征向量为,求数及的全体特征值与特征向量．解12：由此可得：对应特征值只有1个线性无关的特征向量,而特征方程的基础解系为,全体特征向量为5、设实对称矩阵的特征值,属于的特征向量依次为,,求．解设,由,可得该齐次方程组的一个非零解为．令,则有6.设的一个特征向量为,求的全体特征值与特征向量．解：,,12对应只有1个线性无关的特征向量全体特征向量为7、已知可对角化,是的2重特征值,求可逆矩阵,使得．解可对角化对应有两个线性无关的特征向量设,则有此时,求得,,令,则有．8.
4、证明：（1）设为的特征值，即.则为的特征值，即.又,则,12.（2）由可得无关假设是的特征值，即整理得由无关知推出矛盾，假设不成立，所以不是的特征值.同理不是的特征值。，所以无关.9.解：所以两个矩阵不相似。10.证：（1）设矩阵的分别为相应矩阵的第行第列的元素。则（2）若与相似，可以设，从而三、思考与深化1.设,求．12解例4求得,,使得：故（）2、去掉，此题目有问题。312124125.解：（1）（2）（3）若，则。又由（a）得，即，所以（b）若由（a）式就得到，若由（b）式亦得到。6关于求最大
5、特征值的计算方法．（1）求最大特征值及对应的特征向量；（2）设计算,填到下面表里,并观察；（3）求证：．解：参考书174页选讲内容。矩阵的最大特征值为2，对应的特征向量为对应用特征值1的特征向量为，对本题因为1212
