南京市2010届高三数学考前综合训练题3(答案).doc

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1、南京市2010届高三数学考前综合训练题参考答案1．①、②、③、④．2．(1)因为a与b互相垂直，所以a·b＝0．所以sinθ－2cosθ＝0，即sinθ＝2cosθ．因为sin2θ＋cos2θ＝1，所以（2cosθ）2＋cos2θ＝1．解得cos2θ＝．则sin2θ＝．因为θ∈(0，)，所以sinθ＞0，cosθ＞0，所以sinθ＝，cosθ＝．(2)因为0＜j＜，0＜θ＜，所以－＜θ－j＜，所以cos(θ－j)＝＝，所以cosj＝cos[θ－(θ－j)]＝cosθcos(θ－j)＋sinθsin(θ－j)＝．所以j＝．3．(1)因

2、为A、B、C为△ABC的内角，B＝，cosA＝，所以C＝－A，sinA＝．所以sinC＝sin(－A)＝cosA＋sinA＝．(2)由(1)，知sinA＝，sinC＝．因为B＝，b＝，所以在△ABC中，a＝＝．所以△ABC的面积S＝absinC＝××＝．4．（1）由余弦定理及条件，得a2＋b2－ab＝4，absinC＝，即ab＝4．联立方程组解得a＝2，b＝2．（2）由题意，得＋sin(－2A)＝2sin2A．即sin(2A－)＝．因为A∈(0，)，所以2A－∈(－，)．所以2A－＝或2A－＝．则A＝，或A＝．5．（1）因为A，B，

3、C成等差数列，所以B＝．因为·＝－，所以accos(π－B)＝－，所以ac＝，即ac＝3．因为b＝，b2＝a2＋c2－2accosB，所以a2＋c2－ac＝3，即(a＋c)2－3ac＝3．所以(a＋c)2＝12，所以a＋c＝2．（2）2sinA－sinC＝2sin(－C)－sinC＝2(cosC＋sinC)－sinC＝cosC．11因为0＜C＜，所以cosC∈（－，）．所以2sinA－sinC的取值范围是（－，）．6．(1)证明：在正方形AA'A1'A1中，因为A'C＝AA'－AB－BC＝5，所以三棱柱ABC－A1B1C1的底面三角

4、形ABC的边AC＝5．因为AB＝3，BC＝4，所以AB2＋BC2＝AC2．所以AB⊥BC．因为四边形AA'A1'A1为正方形，BB1//AA1，所以AB⊥BB1．而BC∩BB1＝B，BCÌ平面BCC1B1，BB1Ì平面BCC1B1，所以AB⊥平面BCC1B1．(2)解：因为AB⊥平面BCC1B1，所以AB为四棱锥A－BCQP的高．因为四边形BCQP为直角梯形，且BP＝AB＝3，CQ＝AB＋BC＝7，所以梯形BCQP的面积为SBCQP＝(BP＋CQ)×BC＝20．所以四棱锥A－BCQP的体积VA－BCQP＝SBCQP×AB＝20．由(

5、1)，知BB1⊥AB，BB1⊥BC，且AB∩BC＝B，ABÌ平面ABC，BCÌ平面ABC．所以BB1⊥平面ABC．所以三棱柱ABC－A1B1C1为直棱柱．所以三棱柱ABC－A1B1C1的体积为VABC－ABC＝S△ABC×BB1＝72．故平面APQ将三棱柱ABC－A1B1C1分成上、下两部分的体积之比为＝．7．（1）证法一：连结AC，在四边形ABCD中，AD^AB，CD∥AB，所以AD^CD．设AD＝a．因为AD＝DC＝AB，所以CD＝a，AB＝2a．在△ADC中，ÐADC＝90°，AD＝DC，所以ÐDCA＝ÐDAC＝45°，AC＝

6、a．在△ACB中，AB＝2a，AC＝a，ÐCAB＝45°，所以BC＝＝a．所以AC2＋BC2＝AB2．所以AC^BC．又因为BC^PC，ACÌ平面PAC，PCÌ平面PAC，AC∩PC＝C，所以BC^平面PAC．因为PAÌ平面PAC，所以PA^BC．证法二：连结AC，过C作CE^AB，垂足为E．在四边形ABCD中，AD^AB，CD∥AB，AD＝DC，所以四边形ADCE为正方形．所以ÐACD＝ÐACE＝45°．PABCDMFE因为AE＝CD＝AB，所以BE＝AE＝CE．所以ÐBCE＝45°．所以ÐACB＝ÐACE＋ÐBCE＝45°＋45

7、°＝90°．所以AC^BC．又因为BC^PC，ACÌ平面PAC，PCÌ平面PAC，AC∩PC＝C，所以BC^平面PAC．因为PAÌ平面PAC，所以PA^BC．（2）当M为PB中点时，CM∥平面PAD．证法一：取AP中点F，连结CM，FM，DF．则FM∥AB，FM＝AB．因为CD∥AB，CD＝AB，所以FM∥CD，FM＝CD．所以四边形CDFM为平行四边形．所以CM∥DF．因为DFÌ平面DAP，CM平面PAD，所以CM∥平面PAD．证法二：在四边形ABCD中，设BC的延长线与AD的延长线交于点Q，连结PQ，CM．11因为CD∥AB，所

8、以ÐQCD＝ÐQBA．因为ÐCQD＝ÐBQA．所以△CQD∽△BQA．所以＝＝．所以C为BQ的中点．PABCDMQ因为M为BP的中点，所以CM∥PQ．因为PQÌ平面PAD，CM平面PAD，所以CM∥平面PAD．证法三：取AB中点E，连