第二章内积空间ppt课件.ppt

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1、第二章内积空间主要内容一、欧氏空间与酉空间二、内积空间的度量三、正交变换四、正交子空间与正交投影五、最小二乘问题第一节欧氏空间与酉空间在线性空间中，向量之间仅有加法与数乘两种代数运算，而无向量长度、向量夹角等度量概念。向量内积正是适应这种要求而引入的。内积空间是3维向量空间的自然推广，故称实内积空间为欧氏空间，称复内积空间为酉空间。定义在实线性空间V中，若任意两个向量按某种法则有实数与之对应，记作并满足公理，(2)(3)(4)时等式成立当且仅当则称实数为向量的内积，定义了内积的实线性空间叫做欧氏空间。一、欧氏空间例1在向量空间Rn，设可以验证满足内积的定义，称

2、之为Rn中的标准内积。例2在向量空间Rn，设定义定义可以验证也是Rn中的内积。说明（1）同一线性空间可定义不同的内积，从而形成不同的欧氏空间。（2）不论如何定义内积，不会改变线性空间的维数。例4在实线性空间中，对于任意两个n阶矩阵A，B，定义例3在实线性空间C[a,b]中，对于任意两个连续函数，定义利用定积分的性质，可以验证是内积，C[a,b]是欧氏空间，但其维数无限。则是内积，向量空间是欧氏空间。内积的性质对于欧氏空间的向量设为n维欧氏空间V的基，令矩阵A也常常称为度量矩阵（或Gram矩阵），因为许多与向量度量有关的量可以用A来描述。二、度量矩阵及性质则（1

3、）矩阵A为实对称正定矩阵；定理1：设A为n维欧氏空间V的基的度量矩阵，则定理2：设与为n维欧氏空间V的基，它们矩阵，则的度量矩阵为A和B，，C是到的过渡即同一欧氏空间不同基的度量矩阵是相合矩阵。即抽象的向量的内积可通过他们在基下的坐标及度量矩阵的双线性函数来计算。（证明详见P26-27）例5设欧氏空间中的内积为（1）求基1，x,x2的度量矩阵；（2）求与的内积。解：设基1，x,x2的度量矩阵为则（2）求与的内积。方法一：利用定义，直接计算方法二：利用基的度量矩阵及向量在基下的坐标可求两个向量的内积。在基1，x,x2的坐标分别为则三、酉空间定义在复线性空间V中，

4、若任意两个向量按某种法则有复数与之对应，记作并满足公理，(2)(4)时等式成立当且仅当则称复数为向量的内积。定义了内积的复线性空间叫做酉空间。对于酉空间的向量酉空间内积的性质例7在向量空间Cn，设定义则Cn成为酉空间。说明：在有些教材上酉空间的定义与本教材有所不同，主要是定义中的（3），可采用：这样，在例（7）中的内积为：(3)则（1）矩阵A为Hermite、正定矩阵；定理3：设A为n维酉空间V的基的度量矩阵，则定理4：设与为n维酉空间V的基，它们矩阵，则的度量矩阵为A和B，，C是到的过渡即同一酉空间不同基的度量矩阵是复相合矩阵。练习P381;2;3第二节内积

5、空间的度量主要内容：一、向量长度及性质二、向量的正交性三、标准正交基与与施密特正交化方法定义向量长度（模或范数）为当时，称为单位向量称为的规范化单位向量一、向量长度及性质设V是酉（欧氏）空间，定义的距离为1、向量长度的定义：2、向量长度的性质时等式成立；当且仅当因此Chauchy不等式成立。引理（Chauchy不等式）设V是酉（欧氏）空间，证明:由于对任意数t，成立即利用一元二次不等式的性质得即即两个向量线性相关时成立向量的长度满足(在欧氏空间中证明)说明：等号仅当这就是著名的Schwarz不等式。结合不同的欧氏空间，可得Chauchy不等式的具体实例，如（1

6、）（2）两端开平方即得：设是内积空间的任意两个向量，则证明由内积的性质及Chauchy不等式得(在欧氏空间中）推论1（三角不等式）正因为Chauchy不等式成立，因此可定义两个向量的夹角若则称向量是正交向量。设是欧氏空间的任意两个非0向量，定义的夹角为二、向量的正交性1、向量的夹角若则称向量是正交向量。设是酉空间的任意两个非0向量，定义的夹角为（2）酉（欧氏空间）中的勾股定理：故证明由于是正交的，即设是欧氏空间的任意两个正交向量，则有说明（1）零向量与任意向量都正交；成立例3 欧氏空间的三角函数组是正交的事实上，可以验证对于上述不同的三角函数则称是正交向量组。

7、酉空间中非零向量组如果两两正交，说明：勾股定理可以推广到正交向量组上去，即：若是正交向量组，则有2、正交向量组定理故两两正交的非零向量组线性无关。证明设是两两正交的非零向量组是一组数，使线性无关从而则又说明：在n维内积空间中，两两正交的非零向量不能超过n个.用与上式两端做内积得：例1在R4中求与都正交的单位向量解：设所求向量为则即此方程组的基础解系为单位化得为所求的向量三、标准正交基与与施密特正交化方法称为标准正交基。在n维内积空间中，若基满足例R3的标准正交基1、标准正交基及性质则有：性质：设为n维酉（欧氏空间）的标准正交基，向量设对于任意（3）若也是V的标

8、准正交基，C是到的过渡矩阵，则容易证明