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1、定义设为上的实线性空间,若存在唯一实数与之对应②对称性：③可加性：①正定性：,且④齐次性：称实数为与的内积，称为(实)内积空间。，且满足下述性质：内积空间也称为欧氏空间(Euclid空间)。线性空间—研究向量间的代数(线性)运算内积空间—研究向量长度、向量间的夹角等几何特性容易验证是内积。例给定正定矩阵,定义例,定义容易验证是内积，即为欧氏空间。闭区间上连续函数全体可见同一线性空间可以定义多个不同的内积例,定义容易验证是内积,即是欧氏空间。可见:内积是解析几何中“点积”概念的推广几个的简单的性质：②①内积空间的子空间仍是内积空间；③④⑤记则有意义定义称为向量的长度。若，称为单位向量
2、若，记,称为的单位化向量问长度的本质特征是什么？①正定性：②齐次性：③三角不等式：显然①,②成立，③是下述定理的推论。且定理设为欧氏空间，有分析若定理成立，当时有且线性相关。设与的“夹角”为,即有在上的“投影”为,显然有作定理设为欧氏空间，有证若定理显然成立且线性相关。则,设.令定理设为欧氏空间，有证若定理显然成立且线性相关。若等号成立,则若线性相关,等号显然成立。从而线性相关。柯西-许瓦兹不等式（Cauchy-Schwartz）定理设为欧氏空间，有在中有且线性相关。Cauchy-Schwartz不等式的应用：在中有定理设为欧氏空间，有证且线性相关。推论设为欧氏空间，有三角不等式定
3、义记称为与的夹角。若即则称相互正交,记为证勾股定理若，则有证设定理若是正交向量组,则必线性无关.故线性无关。有定义若非零向量两两正交，则称为正交向量组。单位向量，则称为标准正交基。定义在欧氏空间中，若是正交向量组,则称为正交基；又若均为显然在欧氏空间中是标准正交基称为的度量矩阵。问欧氏空间中是否存在标准正交基？怎样找标准正交基？定理欧氏空间必存在标准正交基。证任取的一个基,令这种由普通基出发构造标准正交基的方法称为Schmidt标准正交化法。容易验证构成的正交基构成的标准正交基Schmidt标准正交化过程正交基标准正交基基即的基变换矩阵为上三角阵解令例设的基是用Schmidt标准正
4、交化方法求的标准正交基。求得标准正交基为④化简坐标计算：①总结：设为的基,用Schmidt标准正交化方法可求得标准正交基②为上三角阵③是标准正交基⑤在上的投影即为在上的坐标同构关系在标准正交基下保持内积不变，称为自然内积正交补空间有定义设都是欧氏空间的子空间,若，即则称相互正交,记为问题在中，两平面相互垂直是否有？若直线垂直平面是否有？正交补空间有定义设都是欧氏空间的子空间,若，即则称相互正交,记为证定理若，则，则从而正交补空间有定义设都是欧氏空间的子空间,若，即则称相互正交,记为定理若，则则称互为正交补,记为定义设都是欧氏空间的子空间，若称为的正交直和分解。,则定理欧氏空间的任一
5、子空间都有唯一正交补。为的标准正交基证设将其扩充为的标准正交基再证唯一性：设都是的正交补，即同理，故即要证？正交变换定义设是欧氏空间的线性变换,若有则称为正交变换。这说明：正交变换保持向量的长度不变这说明：正交变换保持向量间的夹角不变证定理设是欧氏空间的线性变换,则下列条件等价①是正交变换②保持向量长度不变,即③将标准正交基映射为标准正交基④在标准正交基下的矩阵为正交阵,因为是正交变换，即①→②②→③②→③证定理设是欧氏空间的线性变换,则下列条件等价①是正交变换②保持向量长度不变,即③将标准正交基映射为标准正交基④在标准正交基下的矩阵为正交阵故为标准正交基设为标准正交基,则当有又③
6、→④③→④证定理设是欧氏空间的线性变换,则下列条件等价①是正交变换②保持向量长度不变,即③将标准正交基映射为标准正交基④在标准正交基下的矩阵为正交阵令设在标准正交基下的矩阵为,即故为正交阵。,因为标准正交基,故④→①④→①证定理设是欧氏空间的线性变换,则下列条件等价①是正交变换②保持向量长度不变,即③将标准正交基映射为标准正交基④在标准正交基下的矩阵为正交阵，有设在标准正交基下的矩阵为,即故是正交变换。对称变换定义设是欧氏空间的线性变换,若有则称为对称变换。定理是欧氏空间的对称变换的充要条件是在任一标准正交基下的矩阵为对称阵。§3END（证略）
