第二章 内积空间ppt课件.ppt

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1、第二章内积空间当向量元素在复数域内取值时，欧氏空间就被推广到了酉空间。许多欧氏空间中的定义和性质几乎可以“平滑地”推广到酉空间。欧氏空间和酉空间统称为内积空间。线性空间中向量的运算仅是线性运算。一般而言，我们知道，现实世界是3维欧氏空间。对于维线性空间，定义了内积以后，向量不仅有了长度（模），还有了两向量之间的夹角等几何性质。特别是有了正交概念后，我们可以得到标准正交基、勾股定理、正交投影等许多优美的结果。§1、欧氏空间的基本概念向量空间中向量的长度与夹角是用内积定义的，因此要在线性空间中引入相关概念

2、，自然要对内积的概念进行推广。由于向量的内积与向量的线性运算无关，所以欧氏空间实际上是特殊的线性空间，即定义了内积的线性空间。一、内积空间(InnerProductSpace)的概念在线性代数中，我们将中的内积推广到：并在此基础上定义了中的向量长度、夹角等概念。我们当然可以将这种定义推广到任意线性空间，但注意到这种定义与向量空间的基有关，我们目前不打算这样做。所以我们先要确定线性空间中内积的定义。注意到中的内积显然具有如下性质：，当且仅当时，等号成立。定义1是实数域上的线性空间。如果对中任意两个向量都

3、存在所谓与的内积，满足下面四个条件。称定义了内积的线性空间为实内积空间，简称欧氏空间。据此，我们可以给出线性空间中内积的公理化定义。例2定义了标准内积的是欧氏空间。这里，对任意两个向量及，标准内积为例3在向量空间中，对任意和实对称矩阵，定义实双线性型（BilinearForm）则是的一个内积。特别地，时就是二次型；当时就是前面的标准内积。联想到二次型，我们可得到下面的双线性型。则是定义了内积的内积空间。例4在矩阵空间中，对任意定义证明：例5线性空间按下列内积构成欧氏空间：则由函数的连续性，存在邻域当时

4、，若有，使其内任意点的函数值满足，从而矛盾。其他性质显然可证。例6定义了标准内积的集合称为希尔伯特空间，这里是所有平方和收敛的实数列的集合，即根据前面的分析，欧氏空间中内积还具有下列性质。注意到3维空间中，欧氏空间中的向量的范数（norm)为定义7特别地，称的向量称为单位向量。任意非零向量，经过规范化或单位化后可得到单位向量二、欧氏空间的度量证明：对任意，显然当时，取即两向量线性相关时等式成立。定理8（柯西--施瓦茨不等式）如果是数域上的欧氏空间，则对中的任意向量，有这个一元二次不等式对任意恒成立，因

5、此类似于高等数学，根据柯西-施瓦茨不等式，我们称为欧氏空间中向量与的夹角。特别地，当时，称与正交或垂直，记为。定理9如果是数域上的欧氏空间，则对中的任意向量，具有下列三条性质（非负性、正齐性和三角不等式）：另外欧氏空间中的范数显然具有下列性质。，当且仅当时，等号成立。定理10如果是数域上的欧氏空间，则对中的任意向量，有：范数还具有下列平行四边形法则、极化恒等式和勾股定理。（3）特别地，当与正交时，有最后我们给出欧氏空间的内积的坐标表示形式。设为的任意一组基，向量在此基下的坐标分别为则内积最后我们给出欧

6、氏空间的内积的坐标表示形式。定义11欧氏空间的一个向量组的度量矩阵或Gram矩阵指的是矩阵可以证明Gram矩阵是对称正定矩阵。例12欧氏空间的内积为：（2）用矩阵计算下列函数的内积：（1）求自然基的度量矩阵。解：度量矩阵是对称矩阵，所以所求为（2）和在自然基下的坐标分别是所以所求为拓扑空间线性空间Hausdorff空间赋范空间距离空间(度量空间)拓扑线性空间完备距离线性空间距离线性空间内积空间Hilbert空间Banach空间欧氏空间和各类空间的层次关系§2、标准正交基正交性的重要性无论怎么强调都不过

7、分，尤其在数值线性代数和微分方程数值解中，许多重要的算法都与正交性有密切联系。而这两门学科是在工程科学中有着最广泛应用的数学学科之一。在欧氏空间内引入标准正交基后，欧氏空间内向量的内积运算就转化成了我们熟悉的向量空间内向量的内积运算。说明此时内积是标准内积，因此用坐标计算内积的公式有最简单的形式。我们当然希望在欧氏空间中通过适当选取基，使得欧氏空间的度量矩阵也是单位矩阵。一、标准正交基(OrthonormalBasis)在中，选取自然基，则度量矩阵定义1欧氏空间的一组基称为的一个正交基，如果它们两两正

8、交。如果此正交基的每个基向量又都是单位向量，则称此基为的一个标准正交基。例2欧氏空间的一个标准正交基是从规范正交基的定义看，有三个要件：（1）是向量个数与维数相等的线性无关的向量组；（2）是两两正交的向量组，即正交向量组；（3）是每个向量都是单位向量的单位向量组。如何求欧氏空间的标准正交基呢？定理3欧氏空间的向量组线性无关的充要条件是矩阵非奇异(可逆)证明：必要性。如果线性无关，则它们也是的一组基。假设奇异，则有非零解，则故但是出现矛盾。首先，如何确定向