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1、网极限在我们所采用的定义1至定义4中均应用了网极限的概念,因此有必要将网极限的一般定义及部分可能要用到的性质略作阐述.定义0.1设集合,称上的二元关系为半序关系,若其满足:非自反性:传递性:,若则:定理0.1如此定义的半序集中没有最大元证明:反设另由知:但由知:矛盾.即得证.注:半序关系中并没有要求,一定要有或,只要两者不同时成立即可.也就是说,两者可以在这种关系下无法比较.我们回忆在学习数列时定义极限的情形,不难发现当时是依靠中的良序关系来描述极限的,然而在更多的情形下,极限的基未必能满足这样的良序关系.
2、为了使这样的极限也能利用序列来进行描述,我们引入半序关系.这样,用能序列描述的极限的围就被极扩展了.定义0.2称偶为半序集,若且为上的半序关系.定义0.3称半序集为定向集,若其满足:共尾性:,这个性质对网极限的定义至关重要,正是共尾性保障了我们所定义极限的唯一性.定义0.4称映射为中的网,若集合且为定向集,记作一般的网极限理论是在拓扑空间展开的,我们在此不必涉及.我们所讨论的的网极限中,恒令.定义0.5对于定向集上的网,若,对,,,有则称为映射在定向集上的网极限,即记作定理0.1定义5中所述的网极限是唯一的
3、.证明:假设,,,有,,有由上的共尾性:,从而有:且,于是由的任意性知:即证网极限是唯一的,说明定义5是良好的.定义0.6设集合且中沿用中的半序关系.若:,,,则称网的限制为网的临界子网,称半序集为的临界子定向集.定理0.2上述定义6中的为定向集证明:首先按照定义,是半序集又,由半序关系的传递性:即为定向集.定义0.7称为网的临界子网,若网限制在的一个临界子定向集上.在临界子网上也可以定义网极限,为了证明广义二重积分在不同定义下的等价性,我们有必要建立起不同网之间的关系.定理0.3这个定理常用来反证网极限不
4、存在,也就是说我们可以选取一个临界子网使极限在此子网上极限不存在,从而说明网极限不存在.定义0.8称定向集与是等价的,若映射满足:,记作定义0.9称网与网是等价的,若且,记作定理0.4证明:不妨设存在且,由的定义,我们有:由为映射:再由的保序性得:即即存在且下面来说明我们以后证明中使用频率最高的共同临界子网的概念.定义0.10称与存在共同临界子网,若的临界子网与的临界子网等价.至此,我们可以提出我们证明的一般思路了.如我们要证明定义1定义2:Step1.对于正函数,在定义1,2下的网收敛临界子网收敛Step
5、2.在定义1,2下,有绝对收敛性,即收敛收敛Step3.找出定义1中的网与定义2中的网的一个公共临界子网于是其中第一个和第五个等价性是由广义二重积分的绝对收敛性得出的，第二个和第四个等价是由正函数的广义二重积分网极限与临界子网极限同时存在得出，而第三个等号是由公共临界子网的等价性得出。注意在定义四中我们找不到简单的公共临界子网，不过我们可以转而证有界性的等价性得出我们要的结论。定义1定理1.1设为区域中任意可求积的子集的全体集合,赋序,则为一个定向集.证明:先说明是一个半序集:非自反性:传递性:且满足共尾性
6、:,记,取则包围的区域满足:可测,且,定义1.1称在上述定向集上的映射,为有限积分网,记作引理1.2当二元函数时,有证明:(1)先证:若存在,则存在且两者相等:取,,当时,即,,且即有界令当时,时:对于同样的,当,时,我们取,则,当,时有:且即有,于是由的任意性,得证.(2)再证:若存在,则存在且两者相等令,而,我们有:即:,当时,根据定义,存在且,即得证.定理1.3当二元函数时,,其中为的临界子网.证明:(1)先证明:若存在,则存在且两者相等由引理1.2:=又得单调递增且有上界,则其上确界存在于是由引理1
7、.2:存在且等于,而,,进而有于是于是=(2)再证明:若存在,则存在且二者相等由引理1:,,进而有于是有上界.又得单调递增,故有上确界再由引理1.2:存在且等于由(1)中证明知:=即得证.定理1.4在定义1下的广义二重积分是绝对收敛的,即:证明:记于是,要证明和在上可积等价只需证:我们先证明:若,则:有界取,,当时,即,,且若,则:,从而有若,则:,从而有:而为某定区域,在上有界,则在上有界于是我们得到:有界,而,故综上所述,,有界性得证下面再证明::反设,则取的分划,,其下和,即:我们将分为以下两类:<1
8、>在上,<2>在上,(此时有)将第二类取出,并记为,则记,则而这与矛盾,于是注意到:则单调递增且有上界,于是存在由引理1.2知:综上所述定义2定理2.1设为所有割下部分的全体,赋序:,则是一个定向集,并且以作为其中每个元素的参数,我们称这种定向集为可参数化的定向集.证明:先说明是一个半序集:非自反性:,即有传递性:且即然后是共尾性:,由于,即有界,那么那么可求长曲线满足：，即使得。定义2.2在上述定向集上的映射称
