二重积分计算.doc

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1、§10.2二重积分的计算直算常难，化为两次定积分—累次积分。一、应用直角坐标计算二重积分（1）为型区域,连续。再设在有界闭域上连续，则暂定à先对积分à再对积分。（证略）。因=曲顶柱体的体积，故可先“片面”后累加。任取定后，可得，再得：。注：积分限--由小到大，后面类似。前式也可（2）为型区域对连续，则暂定à先对积分à再对积分。（3）是型、也是型区域，依简算之。特别，为矩形区域：，则有（4）非型、也非型区域，分割为小型、小型区域，分别算之，再加之。注：中交点至多两点，边交点--可点、线段。例1计算。

2、是由及所围区域。解宜将看作型区域。故。例2求，其中：，。解若看作型区域，有。若看作型区域，有。例3求,及所围解若看作型区域：，则。（易）若按型区域积分，则需把分成和三个区域：，，。因此。（较繁）例4求：及所围区域。解若将看作型区域：，则凑分、换元、分部积分得：。若把看作型区域，则，于是。因无初等原函数，故无法继续用初等函数来计算。例5改变二次积分的积分次序。解还原二重积分：还原积分域：－型区域；把表示成型区域。从而得：二、应用极坐标计算二重积分（的边界为极坐标关系方程）1．基本推导用=常数的一族同

3、心圆、=常数的一族射线，分为个小区域用符号即表区域，也表的面积，则其中，在可积下，的分法和点的取法无关，故可，于是。记，设连续à连续函数，故上式看作关于的二重积分，即，从而有。（：极坐标系中的面积元素）2．极坐标的累次积分（1）为－型区域（大多是这种）暂定à对积分à对积分，即（2）为－型区域暂定à对积分à对积分，即（3）的边界过，则（4）内含，。则特别为圆：，则注：通常，若积分区域为圆形、环形区域（或部分）、被积函数形如时，用极坐标计算较为方便。例6求，：。解在极坐标系中，，否则，要把分成四个小区

4、域，每个小区域上将会遇到十分复杂的计算。例7求由球面与柱面（）所围成的立体的体积。解由对称性可得，,边界过，故。例8求，：，并由此证明。（概率积分，此前不好积）解视为型，得另设，则有：。由于，其中为正方形，另外四分之一圆域如右图，则，故。由例8得：，令得。例9求双纽线所围成的平面区域的面积。解由对称性，可得，，从而三*、二重积分的一般换元法实为坐标变换：，。这里变换是一一对应的，所以有：圆域ßà矩形域。一般变换有如下结论。本章中环境影响评价制度，2010年的真题中全部集中在环境影响评价这一节。环境

5、保护的对象，环境影响评价制度，环境影响评价文件的组成、文件的报批等是历年考试的热点。定理设在平面的闭区域上连续，变换将平面上的闭区域变为平面上的闭区域，第二节　安全预评价且(1)在上有一阶连续偏导数；(2)在上雅可比行列式(3)变换：是一对一的，（四）规划环境影响评价的审查则有表四：项目排污情况及环境措施简述。称为二重积分换元公式。例10求,是由x轴、y轴和直线所围。规划编制单位对规划环境影响进行跟踪评价，应当采取调查问卷、现场走访、座谈会等形式征求有关单位、专家和公众的意见。解这里,3.环境影响

6、登记表的内容令，则2.环境影响报告表的内容。于是，上的的边界ßà上的边界：由，和围成。（2）生产、储存危险化学品（包括使用长输管道输送危险化学品）的建设项目；将看成v-区域。而（三）安全评价的内容和分类。由变换公式得3.意愿调查评估法。作业P1271（1、3），2（1、3、5），3（1、3），4（1、3、5、7），5（1、3）；