数学建模竞赛讲座_车灯线光源的优化模型ppt课件.ppt

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1、大学生数学建模竞赛讲座车灯线光源的优化设计1.问题的重述安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方,其开口半径36毫米，深度21.6毫米。经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向，对称地放置一定长度的均匀分布的线光源。要求在某一设计规范标准下确定线光源的长度。该设计规范在简化后可描述如下：在焦点F正前方25米处的A点放置一测试屏，屏与FA垂直，用以测试车灯的反射光。在屏上过A点引出一条与地面相平行的直线，在该直线A点的同侧取B点和C点，使AC=2AB=2.6米。要求C点的光强度不小于某一额定值(可取为1个单

2、位)，B点的光强度不小于该额定值的两倍(只须考虑一次反射)。请解决下列问题：(1)在满足该设计规范的条件下，计算线光源长度，使线光源的功率最小。(2)对得到的线光源长度，在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区。(3)讨论该设计规范的合理性。2.假设与符号说明为了讨论问题方便，我们做如下的假设：(1)车灯采用的大都是卤钨材料作为灯丝，卤钨灯丝在发光工作时，灯丝中间的亮度最强，两端的亮度稍弱。但在实际工作中，这种亮度的差别不是很大，所以我们认为线光源发出的光强的分布是均匀的。(2)通常，当光源与反射面之间的距离比光源尺寸大得多时(10倍

3、以上)，才能把该光源当成点光源来处理。而一般的汽车前照灯中，灯丝的长度是3~7mm，而反射面的焦距为15~40mm，因而不能作为点光源来处理。而根据(1)的假设，我们将灯丝看成是光强均匀分布的线状光源。如果将灯丝分成若干微小段dl，由于dl的长度相对于反射面的焦距来说足够小，所以我们将其作为一个点光源来处理。(3)理论上，一个点光源照射到测试屏上某一点的光强，可以分为点光源直接射到测试屏上的光强和经过抛物面反射到测试屏上的光强两部分。但由于题目只要求测试车灯的反射光，故我们只考虑后者(事实上，点光源直接射到测试屏上的光强相对于经过抛物面

4、反射到测试屏上的光强显得非常微弱，可以忽略不计)。(4)根据光的叠加性，n个点光源共同对测试屏上某一点的作用效果，就等于各个光源对该点单独作用效果的叠加。如果把线光源上各点对测试屏的作用效果作和，即可得线光源在测试屏上的作用效果。(5)假设光的传播过程是理想的，如：旋转抛物面反射系数为1，即无反射衰减；不考虑光的二次反射、折射、干涉和衍射；光在传播中无能量损失，等等。(6)为了处理上的方便，文中涉及到的长度量统一以mm为单位。在此，我们也约定文中所用符号如下：W线光源的总功率l线光源的长度EB(l)EC(l)在测试屏上B点与C点的总的光

5、照度I光源的光强度Φ光源产生的光通量3.问题(1)：计算线光源长度，使线光源的功率最小3.1问题的分析与模型的建立综合考察本问题，可以看出这是一个几何光学与非线性优化相结合的问题。根据题意，车灯的形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方，其开口半径36毫米，深度21.6毫米；经过车灯的焦点F，在与对称轴相垂直的水平方向，对称地放置一定长度的均匀分布的线光源；在焦点F正前方25米处的A点放置一测试屏，屏与FA垂直，用以测试车灯的反射光。简单的示意图参见图3.1。图3.1题目示意图由于车灯是一个旋转抛物面，而不是球面。因此，根据文献

6、[1]中对于近轴光线及焦平面的定义和性质，灯丝发出的光线不能作为近轴光线来简化处理，也就是说，经过旋转抛物面后反射光线并不相互平行。所以，我们在处理过程中必须严格按照光的反射定律[2]，求出发射光线。根据光学知识我们知道，用光照度可以衡量被照物上的光强度。如果我们记线光源的长度为l，总功率为W，线光源在测试屏上B点与C点的光照度(反射被照物的光强度)分别为EB(l)和EC(l)，则设计规范可表示为：EB(l)2K，EC(l)K。而问题(1)是求出最优的线光源长度，使得满足设计规范并且功率最小，于是求解问题(1)就归结为求解如下的优化

7、问题：(3.1)由于光源的功率W与光源的发光强度I及其产生的光通量Φ正相关[3]，因而用光源的发光强度I或产生的光通量Φ可以衡量光源的功率，于是问题(3.1)又可以相应地转化为如下的优化问题(3.2)：(3.2)求解上述模型(3.1)或(3.2)，关键之处是EB(l)和EC(l)(即B点与C点的光照度)的计算。在假设(4)中我们指出：根据光的叠加性，n个点光源共同对测试屏上某一点的作用效果，就等于各个光源对该点单独作用效果的叠加；如果把线光源上各点对测试屏的作用效果作和，即可得线光源在测试屏上的作用效果。因而，不妨考虑按照如下路线解决B

8、点与C点的光照度计算问题(参见图3.2)：(1)对于测试屏上的任意一点Q，如果我们能够得到线光源上任意一点P(可看作点光源)发出的光线经反射面上一点Q反射到测试屏上Q点的光照度，进而又能够得到所有将P反