函数的基本性质函数与导数 ppt课件.ppt

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1、学案3函数的基本性质返回目录1.函数的单调性(1)单调函数的定义设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1f(x2)增函数减函数考点分析返回目录(2)单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是或,那么就说函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,叫做f(x)的单调区间.2.判断函数单调性的方法(1)定义法:利用定义严格判断.(2)利用函数的运算性质:如若f(x),g(x)为增函数,则①f(x)+g(x)为增函数;②为减函数(f(x)>

2、0);③为增函数(f(x)≥0);④f(x)·g(x)为增函数(f(x)>0,g(x)>0);⑤-f(x)为减函数.增函数减函数区间D(3)利用复合函数关系判断单调性.法则是“”，即两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为;若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为.(4)图象法.(5)奇函数在关于原点对称的区间上具有的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有的单调性.返回目录同增异减增函数减函数相同相反(6)导数法①若f(x)在某个区间内可导,当f′(x)>0时,f(x)为函数;当f′(x)<0时,f(x)为函数;②若f(x)在某个区间内可导,当f(x)在该区间上递增时

3、,则f′(x)0;当f(x)在该区间上递减时,则f′(x)0.3.奇函数、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有，那么函数f(x)就叫做偶函数.一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有,那么函数f(x)就叫做奇函数.返回目录≤f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)增减≥返回目录4.判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性,一般都按照定义严格进行,一般步骤是:(1)考查定义域是否关于;(2)根据定义域考查表达式f(-x)是否等于f(x)或-f(x):若f(-x)=,则f(x)为奇函数;若f(-x)=,则f(x)为偶函数;若f(-x)=且f(-x)=,则f(

4、x)既是奇函数又是偶函数;若f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x),则f(x)既不是奇函数又不是偶函数,即非奇非偶函数.f(x)原点对称-f(x)f(x)-f(x)5.奇偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性(填“相同”“相反”）.(2)在公共定义域内,①两个奇函数的和是,两个奇函数的积是;②两个偶函数的和、积是；③一个奇函数，一个偶函数的积是.返回目录奇函数相同相反奇函数偶函数偶函数返回目录考点一函数单调性的判定及证明已知函数f(x)=ax+(a>1).求证：函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.【分析】(1)用函数单调性的定义

5、.(2)用导数法.题型分析返回目录【证明】证法一:任取x1,x2∈(-1,+∞),不妨设x10,且>0,∴,∵x1+1>0,x2+1>0,∴于是f(x2)-f(x1)=>0,故函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.返回目录证法二:f(x)=ax+1-(a>1),求导数得f′(x)=axlna+,∵a>1,∴当x>-1时,axlna>0,>0,f′(x)>0在(-1,+∞)上恒成立,则f(x)在(-1,+∞)上为增函数.证法三:∵a>1,∴y=ax为增函数,又y=在(-1,+∞)上也是增函数.∴y=ax+在(-1,+∞)上为增函数.【评析】对于给出具体解析式的函数,判断

6、或证明其在某区间上的单调性问题,可以结合定义(基本步骤为取点、作差或作商、变形、判断）求解.可导函数则可以利用导数解之.返回目录返回目录＊对应演练＊讨论函数f(x)=x+(a>0)的单调性.解法一:显然f(x)为奇函数,所以先讨论函数f(x)在(0,+∞)上的单调性,设x1>x2>0,则∴当01,则f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)x2≥时，0<<1，则f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),故f(x)在［,+∞)上是增函数.∵f(x)是奇函数，∴f(x)分别在(-∞,-］,［,+∞)上为增函数；f

7、(x)分别在［-,0),(0,］上为减函数.返回目录f(x1)-f(x2)=返回目录解法二:由f′(x)=1-=0可得x=±.当x>时或x<-时,f′(x)>0,∴f(x)分别在［,+∞),(-∞,-］上是增函数.同理0