导数和函数性质ppt课件.ppt

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1、第六讲导数和函数性质构造法在利用导数研究函数的性质，证明不等式等解题过程中，常常要构造函数，构造方程等来促成问题的解决．[例1]　已知函数f(x)＝ax3＋3x2－x＋1在R上是减函数，求a的取值范围．解析：f′(x)＝3ax2＋6x－1.∵f(x)是R上的减函数．∴f′(x)≤0恒成立．即3ax2＋6x－1≤0在x∈R上恒成立，∴a<0且Δ＝36＋12a≤0，∴a≤－3.点评：此类问题的易错点是a＝－3时，该函数也是R上的减函数，符合题目要求，好多学生在解此类问题时，往往丢掉等号．函数y＝x3＋ax＋b在(－1

2、,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，则(　　)A．a＝1，b＝1　　　　　B．a＝1，b∈RC．a＝－3，b＝3D．a＝－3，b∈R解析：f′(x)＝3x2＋a，由条件f′(1)＝0，∴a＝－3，b∈R.答案：D答案：A(文)函数y＝xcosx－sinx,00.∴此函数的单调减区间是(0，π]．答案：(0，π](理)(09·广东)函数f(x)＝

3、(x－3)ex的单调递增区间是(　　)A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)解析：f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝ex(x－2)，由f′(x)>0得，x>2.∴f(x)在(2，＋∞)上是增函数．答案：D[例3]　已知函数f(x)＝－x3＋6x2－9x＋m.(1)求f(x)的单调递增区间．(2)若f(x)在区间[0,4]上的最小值为2，求它在该区间上的最大值．解析：(1)f′(x)＝－3x2＋12x－9＝－3(x－1)(x－3)，由f′(x)>0得，1

4、调递增．(2)由f′(x)<0得x<1或x>3，∴f(x)在[0,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增，在[3,4]上单调递减，f(0)＝m，f(1)＝m－4，f(3)＝m，f(4)＝m－4，且m－4

5、′(x)的图象知，x∈(－∞，0)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)为减函数，x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．只有C符合题意，故选C.答案：C下图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，对此图象，有如下结论：①在区间(－2,1)内f(x)是增函数；②在区间(1,3)内f(x)是减函数；③x＝2时，f(x)取到极大值；④在x＝3时，f(x)取到极小值．其中正确的是________(将你认为正确的序号填在横线上)．答案：③答案：D(理)设a为

6、实数，函数f(x)＝x3－ax2＋(a2－1)x在(－∞，0)和(1，＋∞)上都是增函数，则a的取值范围是________．解析：f′(x)＝3x2－2ax＋(a2－1)，其判别式Δ＝12－8a2.[例6]　函数f(x)是定义在[－1,0)∪(0,1]上的偶函数，当x∈[－1,0)时，f(x)＝x3－ax(a∈R)．(1)当x∈(0,1]时，求f(x)的解析式；(2)若a>3，试判断f(x)在(0,1]上的单调性，并证明你的结论；(3)是否存在实数a，使得当x∈(0,1]时，f(x)有最大值－1?分析：先用转化的

7、方法求出f(x)在(0,1]上的解析式，然后求其导数f′(x)，判断f′(x)的符号得出其单调性，再结合单调性讨论其最值的存在性，判断能否取得最大值－1.解析：(1)当x∈(0,1]时，－x∈[－1,0)，f(－x)＝－x3＋ax，∵函数f(x)是偶函数，∴f(x)＝－x3＋ax(x∈(0,1])．(2)f′(x)＝－3x2＋a，∵x∈(0,1]，∴－3x2∈[－3,0)，又∵a>3，∴－3x2＋a>0.即f′(x)>0，∴f(x)在(0,1]上是增函数．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象过点P(0,

8、2)，且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0.(1)函数y＝f(x)的解析式为________；(2)函数y＝f(x)的单调增区间为________．解析：(1)由f(x)的图象经过点P(0,2)知d＝2，∴f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2，f′(x)＝3x2＋2bx＋c.由在点M(－1，f(－1))处的切线方程是6x－y＋7＝0，知－6－f(－1)＋