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1、第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式二倍角公式中的sin2α,cos2α能否用tanα来表示？提示:能.1.cos33°cos87°+sin33°cos177°的值为()(A)(B)(C)(D)【解析】选B.cos33°cos87°+sin33°cos177°=cos33°sin3°-sin33°cos3°=sin(3°-33°)=-sin30°=.2.已知tan(α+β)=3,tan(α-β)=5,则tan2α=（）(A)(B)(C)(D)【解析】选D.tan2α=tan［(α+β)+(α-β)］3.如果cos2α-cos2β=a，则sin(α+β)sin(α-
2、β)等于（）（A）（B）（C）-a（D）a【解析】选C.sin(α+β)sin(α-β)=(sinαcosβ+cosαsinβ)(sinαcosβ-cosαsinβ)=sin2αcos2β-cos2αsin2β=(1-cos2α)cos2β-cos2α(1-cos2β)=cos2β-cos2α=-a.4.若则2sin2α-cos2α=_____.【解析】由得，2+2tanα=3-3tanα,答案:5.化简：=______.【解析】答案:1.两角和与差的三角函数公式的理解(1)正弦公式概括为“正余，余正符号同”“符号同”指的是前面是两角和，则后面中间为“+”号；前面是
3、两角差，则后面中间为“-”号.(2)余弦公式概括为“余余，正正符号异”.(3)二倍角公式实际就是由两角和公式中令β=α可得.特别地，对于余弦:cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α，这三个公式各有用处，同等重要，特别是逆用即为“降幂公式”，在考题中常有体现.2.弦切互化公式对于弦切互化有时也起到简化解题过程的作用.三角函数式的化简【例1】化简下列各式：(1)【审题指导】对于含有根式的三角函数，化简一般采用倍角公式转化为完全平方式后开根号，若含有常数可采用倍角公式将常数化掉.【自主解答】(1)原式因为0<θ<π，所以所以所以原式=-co
4、sθ.=-2cos4+2(cos4-sin4)=-2sin4.【规律方法】三角函数的给角求值或化简，所给角往往是非特殊角.解决的基本思路是：【变式训练】化简：【解析】原式三角函数的求值【例2】(2011·东城模拟)已知-2cosα+sinα=0，α∈(π,).(1)求sin(α+);(2)求tan(α+).【审题指导】由已知结合同角三角函数关系式可得sinα,cosα,tanα,从而再利用两角和的公式可得（1）（2）.【自主解答】(1)由-2cosα+sinα=0即sinα=2cosα.又sin2α+cos2α=1得又∵α∈(π,),(2)由（1）可得tanα=2，
5、【规律方法】三角函数的求值是三角变换中常见题型，它分为非条件求值（特殊的化简）和条件求值.条件求值中又有给值求值和给值求角，此类问题的关键是把待求角用已知角表示：(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和与差.(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍”的关系或“互余互补”关系.(3)对于角还可以进行配凑，常见的配凑技巧有：α=２·=(α+β)-β=β-(β-α)=［(α+β)+(α-β)］，对于给值求角，关键是求该角的某一个三角函数值，再根据范围确定角.【互动探究】若将本例中的α范围修改为α∈(0,),则如何求cos(-2α)和sin(-2α)?【解析】
6、由本例可得:又α∈(0,),故【变式训练】已知0<β<<α<π，且cos(α-)=求cos(α+β)的值.【解析】∵0<β<<α<π,三角函数的给值求角【例】已知(1)求sinα的值；(2)求β的值.【审题指导】解决本题的关键是角的变换，利用相应公式求解.【规范解答】(1)(2)又由可知由得(或求得)【规律方法】1.三角函数的给值求角问题，一般思路是：2.求角的某一三角函数值时，应选择在该角所在范围内是单调的函数.这样，由三角函数值才可以惟一确定角.如：若角的范围是(0，)，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为选正弦较好.【变式备选】(2
7、011·三亚模拟）△ABC的三内角分别为A、B、C，向量若=1+cos(A+B),求C.【解析】∵=(sinAcosB+sinBcosA)=sin(A+B)=1+cos(A+B),∴sinC=1-cosC,∴sinC+cosC=1,即2sin(C+)=1,∴sin(C+)=又C∈(0,π),三角函数综合应用【例】设函数f(x)=(sinωx+cosωx)2+2cos2ωx(ω>0)的最小正周期为(1)求ω的值；（2）若函数y=g(x)的图象是由y=f(x)的图象向右平移个单位长度得到,求y=g(x)的单调增区间.【审题指导】本例可将原函数平方展开,利用同角三角函
