三重积分的计算课件.ppt

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1、三重积分的计算二、柱面坐标系下三重积分的计算一、直角坐标系下三重积分的计算三、球面坐标系下三重积分的计算第三节第九章假设：2º过内任一点M且平行于某坐标轴的直线与的边界曲面S至多有两个交点.以下以z轴的情形为例.一、直角坐标系下三重积分的计算1.“先一后二”法(求围定顶法)在xOy面上的投影区域为Dxy,xyzODxyS2S1z1z2以Dxy的边界为准线作母线平行z轴的柱面.并将S分成上、下两部分:xyzOS2S1Dxy(x,y)z1z2过Dxy内任点(x,y)作平行于z轴的直线，这直线通过曲面S1穿入内，通过曲面S2穿出外，则可以表

2、示为这柱面与的边界曲面S相交，xyzOS2S1Dxy(x,y)z1z2先将x,y看作定值，将只看作z的函数，“先一后二”法描述:上对z积分，在区间再计算F(x,y)在投影区域上的二重积分，即上式也常记作从而原三重积分可表示为先一后二则若可表示为：xyzOS2S1z1z2Dxy(x,y)x先对z,再对y,最后对x的三次积分ab1°物理解释(1)先算线质量即先将x,y看作定值，将f(x,y,z)只看作z的函数，则注P1P2P1P22º若将积分域投影到yOz或xOz面上，则可把三重积分化为按其它顺序的三次积分.3º用“先一后二”法(求围定顶法)求三重

3、积分的步骤：(1)求围求积分域在某坐标面，如：xOy面上的投影区域Dxy;(2)定顶下顶S1:上顶S2:(3)定限过Dxy中任意一点(x,y)，作平行于z轴的直线，由下至上穿，穿入点所对应的竖坐标为最内层积分的下限.(出)(上)xyzOS2S1Dxyz1z2(x,y)xyzOS2S1Dxyx(x,y)z1z2.(4)计算ab例1解1º求围2º定顶Oxy–11解1º求围例22º定顶oxy-111oxy-111xyzOxyzO.计算三重积分所围成的闭区域.坐标面及平面其中是由三个例3解(方法1)“先一后二法”将投影到xOy面上，得投影区域为在投影

4、域内任取一点(x,y),O11xyz过该点作平行于z轴的直线，该直线先通过再通过平面穿出z=0穿入内，因此，可表示为O11xyzO11xyz2.“先二后一”法(截面法)2º过区间[c,d]上任一点z作垂直于z轴的平面z=z，该平面截得平面闭区域步骤：1º把空间区域向某坐标轴(如:z轴)投影，得投影区间:[c,d]；即空间闭区域可表示为上式也常记作即有3º计算F(z)=4º计算先二后一例4解在区间[0,c]中任取一点z,过点(0,0,z)作垂直于z轴的平面，截得区域Dz:注1°何时采用“先二后一”法(截面法)?2º使用截面法时,可根据被

5、积函数和积分区域的特点，将积分域向y轴或x轴投影来计算三重积分.将积分域向x轴投影,解(方法2)“先二后一”法得投影区间[0,1].过区间[0,1]上任一点x作垂直于x轴的平面x=x，该平面截得平面闭区域则计算三重积分所围成的闭区域.坐标面及平面其中是由三个例3是直角三角形,直角边长分别为由于存在.当在上连续时，关于z且若关于xOy(z=0)面对称，3º注意利用对称性简化三重积分的计算具有奇偶性，则时时其中如：将例4稍作变化，有例5解关于y是奇函数小结:三重积分的直角坐标计算方法方法1.“先一后二”方法2.“先二后一”将积分域向坐标面投影将积

6、分域向坐标轴投影二、柱面坐标系下三重积分的计算就称为点M的柱面坐标.设将x,y用极坐标代替，直角坐标与柱面坐标的关系:如图所示,在柱面坐标系中体积元素为因此其中例6计算三重积分解所围成.与平面其中由抛物面在xOy面上的投影区域，由方程组在xOy面上的投影区域：为求出原式＝实际上是三重积分的直角坐标先一后二计算方法与二重积分的极坐标计算方法的结合物.注由例6可见，三重积分的柱面坐标计算方法（先对z作定积分,再对x,y作二重积分）何时采用柱面坐标？适用范围:1)积分域表面用柱面坐标表示时方程简单;2)被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.具体来说，

7、例7解xyzO关于y是奇函数1xyzO(舍去)在xOy面上的投影区域：1xyzO1xyzO解所围成的立体如图.例81º求所围立体在xOy面上的投影区域DDD1(方法1)求围定顶法D2xOy2º定顶(方法2)截面法xyzOxyOzDz28三、球面坐标系下三重积分的计算称为点M的球坐标.设令的夹角为正z轴与则易知直角坐标与球面坐标有如下关系：xyzO动点M(r,,)球面坐标的坐标面：球面S半平面圆锥面常数常数常数SrM在球面坐标系中体积元素为因此有其中例9计算三重积分解所围.其中与采用球面坐标计算.适用范围:1)积分域表面用球面坐标表示

8、时方程简单;2)被积函数用球面坐标表示时变量互相分离.何时采用球面坐标？采用球面坐标计算.例10解例11解宜采用直角坐标计算,先对z积分