三重积分的计算ppt课件.ppt

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1、§6.3三重积分的计算一、在直角坐标系中的计算与二重积分类似，三重积分也可以化为三次积分来进行计算。下面我们通过计算物体的质量来得到三重积分的计算公式.设空间闭区域V的边界曲面的直线交点不多于两个，将V投影到xoy面上，得投影闭Dxy，以Dxy的边界曲线为准线，作母线平行于z轴的柱面，该柱面与区域V的边界曲面的交线把V的边界曲面分成上、下两部分，其方程分别是与平行于z轴穿过V的内部连续，在Dxy上假设V中分布有体密度为f(x,y,z)的某种物质，在Dxy上点(x,y)处取面积元素以的边界曲线为准线，作母线平行于z轴的细长柱体，分割该细长柱体可以看成以z为变量的细杆，它通过曲面S1:进入区域V

2、，然后，通过曲面穿出区域V外，其进入点与穿出点的竖坐标分别是与因此，该细杆的质量为：f(x,y,z)只看作z的函数.这里对z积分时，先将x,y看成常数，此时于是总质量为：以上将三重积分化为三次积分是先计算一个定积分再计算一个二重积分，称之为“先一后二法”。类似地，可以将区域V投影到yoz、zox平面上，可得三重积分按其它顺序的三次积分。空间立体的体积大立体是由小立体连续三次叠加形成，故三重积分实际上可以看成连续的三次积分。思考：下面这种叠加顺序，该如何化为三次积分？DxyDxyy=1-x11解在Dxy内任取一点，作平的点在平面z=0,离开区域V的点在平面z=1-x-y上.例1计算三重积分，其

3、中V为三个坐标面及平面所围成的闭区域.行于z轴的直线，进入区域Vz=y解1解例2化三重积分为三次积分，其中积分区域为由曲面及所围成的闭区域.得交线投影区域Dxy1故V：以上将三重积分化为三次积分是先计算一个定积分再计算一个二重积分，称之为“先一后二法”。事实上，我们也可以先计算一个二重积分，再作一个定积分，我们称之为“先二后一法”。选择平行平面切片分割立体点的体密度是椭球体选择平行平面切片，过的平面切片D的质量空间立体的质量是先二后一法其结果为z的函数；积分步骤:解例4解二、三重积分在柱坐标系中的计算规定：柱面坐标与直角坐标的关系为1.柱面坐标：圆柱面；半平面；平面．2.在柱面坐标系下的三族

4、坐标面为：下面考虑一下在柱面坐标系下被分割出来的小立体的体积微元。在直角坐标系下的分割法在极坐标系下的薄片分割法用柱坐标系中的三组坐标面来分割闭区域V，所以，柱坐标系中三重积分的计算公式为：与直角坐标系中一样，在柱坐标系中三重积分同样可化为对的三次积分，一般总是先对z积分，余下的二重积分就是极坐标系中的二重积分，有时也可以先计算极坐标系中的二重积分，再对z积分。解知交线为例2计算z=0例3计算解解zz=rz=aaDxyz144分析：如果采用先一后二法，对z积分的上下限情况怎样？xyz14xyz14思考：能否采用先对r后对z最后对积分？xyz144三、三重积分在球面坐标系中的计算柱面坐标直角坐

5、标回顾规定：有向线段轴正向所成的角2.直角坐标与球面坐标的关系球面；圆锥面；半平面．CMPyzx03.球面坐标的坐标面4.球面坐标下的体积元素回顾直角坐标柱面坐标特点:都用坐标面来分割空间立体dxzy0体积元素区域由六个坐标面围成的六面体d圆锥面半平面及+d；半径为及的球面；圆锥面及+d球面坐标下的体积元素圆锥面+d于是体积元素dv在球坐标系为：去掉高阶无穷小后，可将这个六面体当作长方体,其长为宽为高为5.球面坐标系中三重积分的计算公式思考：在什么情况下选择球坐标计算较简？答案：当积分区域V由球面、圆锥面（或其部分）所围成，被积函数为的形式时，选择球坐标计算较简

6、.2R例1计算解在球坐标系中故2Rzz=rz=aDzz=rz=aDR2xzR1y解由三重积分的性质知思考：能否用二重积分的几何意义计算？