高等代数§1.3 整除的概念.ppt

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1、§1.3整除的概念一、整除1．定义定义1设若存在使得则称整除记作①时，称为的因式，为的倍式．②不能整除时记作：当时，如果则除所得的商可表成注：例11)x+1

2、x2-1?2)x2–1

3、x+1?例22

4、3?例3设问例4设f(x)≠0,问1)f(x)

5、0?2)0

6、f(x)?2、性质性质1设则(1)自反性f(x)

7、f(x);(2)传递性若f(x)

8、g(x),g(x)

9、h(x),则f(x)

10、h(x);(3)相伴性若且，则存在，使得注：若且，则称与相伴。性质2设,则对任意，有推论1若且则二、带余除法定理1设且则存在使得成立，其中或并且这样的是唯一决定的。1、带余除法称　　为　除　　

11、的商，　为　　除的余式。①若则令结论成立．②若设的次数分别为证：当时，结论成立．显然取即有下面讨论　　　的情形，假设对次数小于n的，结论已成立．先证存在性．对作数学归纳法．次数为0时结论显然成立．设　　的首项为的首项为则与首项相同，因而，多项式若令即可．若由归纳假设，存在使得现在来看次数为n的情形．的次数小于n或为0．其中或者于是即有使成立．的存在性得证．由归纳法原理，对再证唯一性．若同时有其中其中和则即但矛盾．所以从而唯一性得证．推论2设且则整除的判定例1设除的商式为余式为求除的商式与余式。例2用除，求商式与余式，其中2、综合除法＋)的商式和余式可按下列计算格式求得：

12、这里，若则除例3求　　除　　的商式和余式去除①求一次多项式的商式及余式．②把表成的方幂和，即表成的形式．说明：综合除法一般用于１4１解:∵1０　　０　　０　　０　　０例4把表成的方幂和．１１１１１１１１１１１１=１232345=１１１136１3614１41110=5=10=3、带余除法与数域扩大的关系性质3带余除法与数域扩大无关。即，设是数域且由带余除法，使得则且推论3整除关系不因数域扩大改变。