高等代数 概念的引入 .ppt

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1、高等代数概念的引入知识的引入之一、线性方程组的解法加减消去法方程的线性组合原方程组的解是新方程的解是否有“增根”？互为线性组合:等价变形初等变换高斯消去法只用到系数的运算行向量表示方程数组向量矩阵表示方程组矩阵的初等变换只用到系数的加减乘除数域之二、线性相关与线性无关一、方程个数的真与假方程组有几个方程？3个?2个?某个方程是其余方程的线性组合线性相关例1如下向量u，v，w是否共面?(1)u=(1,1,1);v=(2,1,5);w=(3,2,6).(2)u=(1,1,1);v=(2,1,5);w=(

2、1,-3,13).(3)u=(1,1,1);v=(2,1,5);w=(1,-3,6).有解λ1=-7,λ2=4,-7u+4v=w解(1)易见u+v=w,这三个向量共面.(2)解方程组求实数λ1,λ2使(3)u=(1,1,1);v=(2,1,5);w=(1,-3,6).方程组λ1u+λ2v=w无解。还需解λ1u+λ3w=v,仍无解。还需解λ2v+λ3w=u,仍无解。解三个方程太繁琐！只须解一个方程λ1u+λ2v+λ3w=0有(无)非零解线性相(无)关对任意向量a,b,gλ1a+λ2b+λ3g=0有(无)非零解线性

3、相(无)关当λ3不为0,当λ2不为0,当λ1不为0,二、线性相关(无关)的定义V是数域F上向量空间,u1,…,um是V中向量.如果存在F中不全为0的数使(2.1)就称向量组u1,…,um线性相关.反之,如果(2.1)当且仅当成立,就称向量组u1,…,um线性无关.可以看成关于未知数的方程。方程有(无)非零解向量组线性相(无)关例2.求方程的实数解则原方程为:u+v=w我们有:-7u2+4v2=w2将原方程代入:-7u2+4v2=(u+v)2整理得-8u2-2uv+3v2=0分解因式得(v-2u)(3v+4u)=0v

4、=2u,解:令方程组线性相关有多余的方程（是其余方程的线性组合）删去多余的方程----打假将打假进行到底极大线性无关组剩下的方程的个数----秩rank三、极大线性无关组，秩秩的唯一性方程组(A1,A2,A3)与(B1,B2)互为线性组合A1=a11B1+a12B2A2=a21B1+a22B2A3=a31B1+a32B2x1A1+x2A2+x3A3=0:(a11x1+a21x2+a31x3)B1+(a12x1+a22x2+a32x3)B2=0未知数个数3>方程个数2方程组有非零解(x1,x2,x3)A1,A2,

5、A3线性相关.方程可以换成任意对象,只要仍有加法和数乘且满足运算律,证明仍成立抽象向量空间四、线性相关(无关)的重要应用---基、坐标与维数在3维几何向量组成的空间V中,我们取3个不共面的向量α1,α2,α3组成一组基,将空间中每个向量u唯一地写成α1,α2,α3的线性组合:α=xα1+yα2+zα3将3个系数组成的数组(x,y,z)称为α的坐标,用来代表α.为什么V中每个向量α都能写成这三个向量α1,α2,α3的线性组合?为什么系数x,y,z是唯一的?在任意域F的线性空间V中能否类似地找到一组向量α1,α2,…,α

6、n组成一组基,使得V中的每个向量α都能唯一地写成这组向量的线性组合,从而可以将线性组合的系数组成坐标来代表这个向量?如果能,这组基α1,α2,…,αn应当满足什么样的条件?例3设V是数域F上线性空间,{u1,u2,…,un}是V中的向量组成的向量组.假如V中向量u能写成u1,u2,…,un的线性组合u=x1u1+x2u2+…+xnun(4.1)在什么情况下,由u=x1u1+x2u2+…+xnun=y1u1+y2u2+…+ynun可以推出xi=yi,i=1,2,…,n从而线性组合式(2.5)中的系数x1,x2,…,xn由

7、u唯一决定?解：当且仅当u1,u2,…,un线性无关时,由(4.3)可得x1u1+x2u2+…+xnun=y1u1+y2u2+…+ynun(4.2)(x1-y1)u1+(x2-y2)u2+…+(xn-yn)un=0(4.3)由此可知,当且仅当u1,u2,…,un线性无关时,凡是能由u1,u2,…,un线性组合出来的向量u=x1u1+x2u2+…+xnun,此线性组合表达式中的系数x1,x2,…,xn就由u唯一决定,可以组成坐标(x1,x2,…,xn)来表示向量u.为了将V中所有的向量都用坐标来表示,还需要选取这样的线性

8、无关向量组{u1,u2,…,un},使V中所有的向量都能表示成u1,u2,…,un的线性组合.定义设V是数域F上的线性空间.如果V上存在一组由有限个向量组成的线性无关向量组α=x1α1+x2α2+…+xnαn,(4.4)B={α1,α2,…,αn}使V中每个α都能写成B中向量的线性组合则V称为有限维线性空间,B称为V的一组基,B中