经典线代课件线性代数课件第一章.ppt

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1、线性代数数学科学学院陆斌第一章行列式第一节二阶与三阶行列式二阶行列式三阶行列式用消元法解二元线性方程组一、二阶行列式的引入方程组的解为由方程组的四个系数确定.由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表定义即主对角线副对角线对角线法则二阶行列式的计算若记对于二元线性方程组系数行列式则二元线性方程组的解为注意分母都为原方程组的系数行列式.例1解二、三阶行列式定义记（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式..列标行标对角线法则注意红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号．说明1对角线

2、法则只适用于二阶与三阶行列式．三阶行列式的计算2.三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负.例２解按对角线法则，有例3解方程左端第二节全排列及其逆序数一、概念的引入引例用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？二、全排列及其逆序数问题定义把个不同的元素排成一列，叫做这个元素的全排列（或排列）.个不同的元素的所有排列的种数，通常用表示.由引例同理在一个排列中，若数则称这两个数组成一个逆序.例如排列32514中，定义我们规定各元素之间有

3、一个标准次序,n个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.排列的逆序数32514逆序逆序逆序定义一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.32514于是排列32514的逆序数为例1求排列32514的逆序数.解在排列32514中,分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.计算排列逆序数的方法计算排列逆序数的方法逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列.排列的奇偶性例2计算下列排列的逆序数.解此排列为

4、偶排列.解§3n阶行列式的定义一、概念的引入二、n阶行列式的定义三、小结一、概念的引入三阶行列式说明（1）三阶行列式共有项，即项．（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的下标排列．例如列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为偶排列奇排列二、n阶行列式的定义定义说明1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;2、阶行列式是项的代数和;3、阶行列式的每项都是位于不同行、不同列个元素的乘积;4、一阶

5、行列式不要与绝对值记号相混淆;5、的符号为例1计算对角行列式分析展开式中项的一般形式是从而这个项为零，所以只能等于,同理可得解即行列式中不为零的项为例2计算上三角行列式分析展开式中项的一般形式是所以不为零的项只有解例3同理可得下三角行列式例4证明对角行列式1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的.2、阶行列式共有项，每项都是位于不同行、不同列的个元素的乘积,正负号由下标排列的逆序数决定.三、小结思考题已知思考题解答解含的项有两项,即对应于§4对换一

6、、对换的定义二、对换的性质三、小结一、对换的定义定义在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换．将相邻两个元素对调，叫做相邻对换．例如二、对换与排列的奇偶性的关系定理1一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．证明设排列为对换与除外，其它元素的逆序数不改变.当时，的逆序数不变;经对换后的逆序数增加1,经对换后的逆序数不变，的逆序数减少1.因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.设排列为当时，现来对换与次相邻对换次相邻对换次相邻对换所以一个排列中的任意两个元素对换，排

7、列改变奇偶性.推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.定理2阶行列式也可定义为其中为行标排列的逆序数.证明由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数,而标准排列是偶排列(逆序数为0),因此知推论成立.证明按行列式定义有记对于D中任意一项总有且仅有中的某一项与之对应并相等;反之,对于中任意一项也总有且仅有D中的某一项与之对应并相等,于是D与中的项可以一一对应并相等,从而定理3阶行列式也可定义为其中是两个级排列，为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和.例1试判断和是

8、否都是六阶行列式中的项.解下标的逆序数为所以是六阶行列式中的项.下标的逆序数为所以不是六阶行列式中的项.例2在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号.解431265的逆序数为所以前边应带正号.行标排列341562的逆序数为列标排列234165的逆序数为所以前边应带正号.1.一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．2.行列式的三种表示方法三、小结其中是两个级排列，为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和.§5　行列式的性质一、行列式的性质二、应用举例三、小结一、行列式的性质性质1行列