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1、第三章多维随机变量及其分布§1二维离散型随机变量§1.1二维离散型随机变量及联合分布律二维离散型随机向量(X,Y)的分布律表解(X,Y)的可能取值为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),则(X,Y)的联合分布律为§1.2二维离散型随机变量联合分布律的性质性质1证因为,所以性质2证证解P{X=i,Y=j}=P{X=i}P{Y=j
2、X=i}=(1/4)(1/i)(i≥j),于是(X,Y)的分布律为§2二维连续性随机变量§2.1二维随机变量的联合分布函数设二维离散型随机变量X和Y具有分布律P{X=xi,Y=yj}=pij,(i,j=1,2,...)，则二维离散型随机变量(X,Y)的联合
3、分布函数为其中和式是对一切满足xi≤x,yj≤y的来求和的.(x1,y1)(x1,y2)(x2,y2)(x2,y1)oⅠⅢⅡⅣxy§2.2二维随机变量联合分布函数的性质性质1F(x,y)分别关于x和y单调不减.证对任意的因为所以即同理可证,对任意的有性质3F(x,y)分别关于x和y右连续.§2.3二维连续型随机变量解(1)由得所以k=6(2)解由则当x>1,y>1时,所以(X,Y)的联合分布函数例:设二维随机向量(X,Y)具有概率密度(1)求分布函数F(x,y);(2)求概率P{Y≤X}.解:(1)(2)将(X,Y)看着平面上随机点的坐标.G是xoy平面上直线y=x下方的部分.关于二维随机
4、向量的讨论,可以推广到n(n>2)维随机向量的情况.设(X1,X2,…,Xn)为n维随机向量,对于任意n个实数x1,x2,…,xn,n元函数F(x1,x2,…,xn)=P{X1≤x1,X2≤x2,…,Xn≤xn}称为n维随机向量(X1,X2,…,Xn)的分布函数或随机变量X1,X2,…,Xn的联合分布函数.它具有类似于二维随机向量的分布函数的性质.§2.4常用的二维连续型随机变量§3边缘分布§3.1边缘分布函数边缘分布函数完全由联合分布函数确定.解(X,Y)关于X的边缘分布函数解(X,Y)关于Y的边缘分布函数§3.2边缘分布律(1)(X,Y)关于X的边缘分布律(2)(X,Y)关于Y的边缘分
5、布律解P{X=i,Y=j}=P{Y=j
6、X=i}P{X=i}=(1/i)(1/4),(i≥j)于是(X,Y)的分布律及关于X和Y的边缘分布律为例:把3个白球和3个红球等可能地放入编号为1,2,3的三个盒子中.记落入第1号盒子的白球个数为X,落入第2号盒子的红球个数为Y.求(X,Y)的分布律和关于X和Y的边缘分布律.解显然有又因为事件{X=i}与事件{Y=j}相互独立,所以有用表格可如下表示例:设随机变量X和Y具有联合概率密度求边缘概率密度pX(x)和pY(y).解§3.3边缘密度函数边缘密度函数完全由联合密度函数所决定.设连续型二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为f(x,y)则从而得到X
7、和Y的概率密度函数分别为解（X，Y）的联合密度函数则（X，Y）关于X的边缘密度函数（X，Y）关于Y的边缘密度函数（1）（X,Y）关于X的边缘密度函数（2）（X，Y）关于Y的边缘密度函数§4条件分布条件分布是条件概率的推广.本节主要讨论关于二维离散型随机变量的条件分布律和关于二维连续型随机变量的条件密度函数.§4.1条件分布律则在X=3的条件下Y的条件分布律其中如同理在Y=1的条件下X的条件分布律§4.2条件密度函数§5随机变量的独立性随机变量相互独立是概率论中非常重要的概念,它是随机事件相互独立的推广.本节主要讨论两个随机变量相互独立的一般性定义,然后对两个离散性随机变量和两个连续性随机变
8、量相互独立进行不同的处理.证X与Y的联合分布律与边缘分布律如表所示:例:把3个白球和3个红球等可能地放入编号为1,2,3的三个盒子中.记落入第1号盒子的白球个数为X,落入第2号盒子的红球个数为Y.求(X,Y)的分布律,并判断随机变量X和Y是否相互独立.解显然有又因为事件{X=i}与事件{Y=j}相互独立,所以X和Y是相互独立,且有用表格可如下表示解(1)例:设随机向量(X,Y)的概率密度函数为试证X和Y相互独立.解于是有p(x,y)=pX(x)pY(y)所以X和Y相互独立.解(1)X与Y的密度函数分别为因为X与Y相互独立,所以(X,Y)的联合密度函数解(2)因为所以证关于X与Y的边缘密度函
9、数分别为则X与Y相互独立的充分必要条件是即§6两个随机变量函数的分布解决两个随机变量函数的分布的方法与一个随机变量函数的分布的方法是一样的,只是前者要比后者复杂得多.有鉴于此,我们仅仅对几种特殊的情形加以讨论.§6.1Z=X+Y的分布解Z为离散型随机变量,其可能取值是0,1,2,3，则Z0123P{Z=k}0.100.400.350.15解(1)求Z的分布函数(2)求Z的密度函数由X与Y的对称性,得如果X与Y相互独立则有
