复变函数论第4章ppt课件.ppt

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1、第四章解析函数的幂级数表示法§1复级数的基本性质§2幂级数§3解析函数的泰勒展式*§4解析函数零点的孤立性及唯一性定理§4.1复级数的基本性质1、复数项级数3、解析函数项级数2、一致收敛的复函数项级数(1)定义表达式称为复数项级数.称为级数的部分和.部分和：1、复数项级数若部分和数列{sn}(n=1,2,…,)有极限s(有限复数),即则称复数项无穷级数收敛于s若部分和数列｛sn｝无有限极限,则称级数为发散.(2)收敛与发散（敛散性）注：与实数项级数相同,判别复数项级数敛散性的基本方法是:充要条件必要条件复数项级数收敛的条件解例1所以原级数发散补充证明：调和级数是发散的。证：调和级数的部

2、分和有：由数学归纳法，得：而故不存在，即调和级数发散。补充求：等比级数的敛散性。解：等比级数的部分和为：已利用等比数列求和公式：综上所述，当公比

3、r

4、<1时，等比级数收敛；当公比

5、r

6、≥1时，等比级数发散。如果收敛,那末称级数为绝对收敛.绝对收敛条件收敛非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.绝对收敛与条件收敛例2解:例3故原级数收敛,且为绝对收敛.因为所以由正项级数的比值判别法知:解称为这级数的部分和.级数最前面项的和其中各项在区域D内有定义.表达式称为复变函数项级数,记作(3)复变函数项级数§4.2幂级数1、幂级数的敛散性2、收敛半径R的求法3、幂级数和的解析性4、例题5、小结的级数

7、称为幂级数.1)幂级数的定义在复变函数项级数中,形如1、幂级数的敛散性----阿贝尔Abel定理如果级数在收敛,那末对的级数必绝对收敛,如果在级数发散,那末对满足的级数必发散.满足2)收敛定理(3)既存在使级数发散的正实数,也存在使级数收敛的正实数.1)收敛圆与收敛半径对于一个幂级数,其收敛半径的情况有三种:对所有的正实数都收敛.即级数在复平面内处处收敛.(2)对所有的正实数除外都发散.此时,级数在复平面内除原点外处处发散.2、收敛半径R的求法..收敛圆收敛半径幂级数的收敛范围是以a点为中心的圆域.收敛圆周在收敛圆周上是收敛还是发散,不能作出一般的结论,要对具体级数进行具体分析.注意方

8、法1:比值法方法2:根值法那末收敛半径那末幂级数的收敛半径为：2）收敛半径R的求法3)幂级数的运算与性质如果当时,又设在内解析且满足那末当时,(2)幂级数的代换(复合)运算4)复变幂级数在收敛圆内的解析性设幂级数的收敛半径为那末是收敛圆内的解析函数.它的和函数即(1)(2)在收敛圆内的导数可将其幂级数逐项求导得到,即(3)在收敛圆内可以逐项积分,即或定理4.13(1)幂级数(4.5)的和函数f(z)在其收敛圆K:

9、z-a

10、

11、.7)4、典型例题例1求幂级数的收敛范围与和函数.解级数的部分和为级数收敛,级数发散.且有收敛范围为一单位圆域由阿贝尔定理知:在此圆域内,级数绝对收敛,收敛半径为1,例2求下列幂级数的收敛半径:(1)(并讨论在收敛圆周上的情形)(2)(并讨论时的情形)或解(1)因为所以收敛半径即原级数在圆内收敛,在圆外发散,收敛的级数所以原级数在收敛圆上是处处收敛的.在圆周上,级数说明：在收敛圆周上既有级数的收敛点,也有级数的发散点.原级数成为交错级数,收敛.发散.原级数成为调和级数，(2)故收敛半径例3求幂级数的收敛半径:解解所以例4求的收敛半径.例5把函数表成形如的幂级数,其中是不相等的复常数.解

12、把函数写成如下的形式:代数变形,使其分母中出现凑出级数收敛,且其和为例6求级数的收敛半径与和函数.解利用逐项积分,得:所以例7求级数的收敛半径与和函数.解例8计算解5、小结与思考这节课我们学习了幂级数的概念和阿贝尔定理等内容，应掌握幂级数收敛半径的求法和幂级数的运算性质.思考题幂级数在收敛圆周上的敛散性如何断定?§4.3解析函数的泰勒展式1、泰勒定理2、一些初等函数的泰勒展式3、解析函数展为幂级数的方法(4.9)D定理：设f(z)在区域D内解析,a∈D,只要K:

13、z-a

14、

15、(z)在点a的泰勒展式,(4.9)称为其泰勒系数,而(4.8)右边的级数,则称为泰勒级数.例1求函数在z=0的泰勒展式。解：由于所以因此2、一些初等函数的泰勒展式利用定义求法利用已知的展开式来求利用级数的乘除运算求法利用待定系数利用逐项求导、逐项积分法利用微分方程求法3、解析函数展为幂级数或泰勒级数的方法例2展开函数成的幂级数到项.解由此得所以利用定义来求.分析：采用间接法即利用已知的展开式来求.解例3求在的泰勒展式.由于例4分析：利用级数的乘