三重积分的概念及其计算法ppt课件.ppt

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1、三重积分的概念及其计算法第四节复习二重积分的概念设函数f(x,y)在平面有界闭区域D上有界，将D任意分成n个无公共内点的小区域每个小区域的面积记作在每个小区域上任意取一点作和式如果上述和式的极限存在，点Pi的取法无关，并且与区域D的分法及则称此极限值为函数f(x,y)在区域D上的二重积分，记作此时也称函数f(x,y)在区域D上是可积的．即一、三重积分的概念1.定义设函数f(x,y,z)在空间有界闭区域Ω上有界，将Ω任意分成n个无公共内点的小区域每个小区域的体积记作在每个小区域上任意取一点如果上述和式的极限存在，并且与区域Ω的分法

2、及则称此极限值为函数f(x,y,z)在记作此时也称函数f(x,y,z)在区域Ω上是可积的．作和式点Pi的取法无关，区域Ω上的三重积分，由定义其中：f(x,y,z)称为被积函数，Ω称为积分区域，f(x,y,z)dv称为被积表达式，dv称为体积元素，积分和．2.函数可积的条件可以证明：如果f(x,y,z)闭区域Ω上连续，则f(x,y,z)在Ω上可积．特别地：如果f(x,y,z)≡1，则有三重积分有与二重积分完全类似的性质．二、三重积分的直角坐标计算法故在空间直角坐标系下体积元素为：从而在直角坐标系下三重积分可表示为与二重积分类似，三

3、重积分可化为三次积分进行计算．设区域Ω的下、上边界曲面方程为求积分三次积分注意积分区域Ω的特点先关于z积分故先关于x积分故666x+y+z=63x+y=62x0zy：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所围成的区域.例2将化为三次积分，666x+y+z=63x+y=62x0zy：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所围成的区域.例2将化为三次积分，3x+y=63x+2y=12x+y+z=6666x0zy42：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+

4、y+z=6所围成的区域.例2将化为三次积分，3x+y=63x+2y=12x+y+z=666426x0zy：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所围成的区域.例2将化为三次积分，z=0y=042x+y+z=6666x0zy：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所围成的区域.例2将化为三次积分，42666.D0yx624D.x0zyx+y+z=6：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所围成的区域.例2将化为三次积分，y2=xxyzo例3将

5、化为三次积分y2=xxyzo例3将化为三次积分例3将化为三次积分,z=0y=0xyzo。。0yxy2=xD例4将化为三次积分，1x+y=1yozx1z=xy.例4将化为三次积分，z=01x+y=1ozx1yz=xy.例4将化为三次积分，11z=0ozxx+y=1yz=xy.三重积分的截面计算法即解三、三重积分的柱面坐标计算法0xzyM(x,y,z)rN(x,y,0)xyz设点M(x,y,z)是空间任一点，.故点M(x,y,z)且有：r由图可知直角坐标与柱面坐标的关系：柱面坐标，记作可以证明柱面坐标系下的体积元素为：圆柱面

6、；半平面；平面．由前面的讨论可知：在柱面坐标系下三重积分可表示为解10xzyDxy1解0xzy1Dxy11解解所围立体Ω1在xoy面上的投影区域D1为：积分区域如图，所围立体Ω2在xoy面上的投影区域D2为：四、三重积分的球面坐标计算法0xzyM(r,,)rNyxz空间任一点M还可用球面坐标．由图可知直角坐标与圆锥面；球面；半平面．且球面坐标的关系:可以证明球面坐标系下的体积元素为:从而在球面坐标系下三重积分可表示为解一、直角坐标系下二、柱面坐标系下三、球面坐标系下解例13解(1)例13解(2)三重积分在物理上的应用1.

7、空间立体的质量、重心则立体的质量为重心坐标为当立体是均匀的，重心也称为形心.2.空间立体的转动惯量补充：利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：１、积分区域关于坐标面的对称性；２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇偶性．解积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是的奇函数，解一、重积分的概念及性质，函数可积的条件．二、重积分的计算1.二重积分的计算(1)直角坐标计算法(2)极坐标计算法2.三重积分的计算(1)直角坐标计算法(2)柱面坐标计算法(3)球面坐标计算法注意各种坐标与直角坐标的关系．三、重积分的应用1.数学上的应

8、用(1)平面区域的面积；(2)空间立体的体积；(3)曲面的面积．2.物理上的应用质量、重心、转动惯量．本章小结注意积分次序的选择．