2019年线性系统的运动分析ppt课件.ppt

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1、第二章线性系统的运动分析1电气信息学院《现代控制理论课程》本章主要内容2-1状态方程的齐次解（自由解）2.2状态转移矩阵2.3线性系统运动分析2.4连续系统的时间离散化2.5线性离散系统的运动分析2电气信息学院《现代控制理论课程》1、线性定常系统的运动1）、自由运动：线性定常系统在没有控制作用，即u＝0时，由初始状态引起的运动称自由运动。齐次状态方程的解：2）、强迫运动：线性定常系统在控制u作用下的运动，称为强迫运动。非齐次状态方程的解：2-1状态方程的齐次解（自由解）3电气信息学院《现代控制理论课程》2、齐次状态方

2、程：满足初始状态的解是：满足初始状态的解是：（2-1）（2-2）（2-3）4电气信息学院《现代控制理论课程》证明：两边取拉氏变换得：整理得：齐次状态方程：初始状态为：故可得：仿标量系统得：拉氏反变换得：（2-5）（2-4）5电气信息学院《现代控制理论课程》一、状态转移矩阵的含义线性定常系统的齐次状态方程：满足初始状态的解是：满足初始状态的解是：已知：线性定常系统的状态转移矩阵令：则有：2.2状态转移矩阵6电气信息学院《现代控制理论课程》说明1：状态转移矩阵必须满足以下两个条件：1）状态转移矩阵初始条件：2）状态转移矩

3、阵满足状态方程本身：说明2：对于线性定常系统来说，状态转移矩阵就是矩阵指数函数本身。说明3：状态转移矩阵的物理意义：从时间角度看，状态转移矩阵使状态向量随着时间的推移不断地作坐标变换，不断地在状态空间中作转移，故称为状态转移矩阵7电气信息学院《现代控制理论课程》二、状态转移矩阵的基本性质：1、不发生时间推移下的不变性：[证明]：状态转移矩阵定义中，令t＝0即可得证2．传递性（组合性）证：由于又故上式成立，意为至的状态转移过程可分解为至及至的分段转移过程。8电气信息学院《现代控制理论课程》3、可逆性总是非奇异的，必有逆

4、存在，且：[证明]：4、分解性：设A为n×n阶矩阵，t1为t2两个独立自变量，则有：9电气信息学院《现代控制理论课程》故上式成立。5．倍时性由于6、微分性和交换性：对有：10电气信息学院《现代控制理论课程》三、几个特殊的矩阵指数函数（1）设，即A为对角阵且具有互异元素时，有11电气信息学院《现代控制理论课程》（2）若A能通过非奇异变换为对角阵时，即(2-9)12电气信息学院《现代控制理论课程》则有(2-10)（3）设A为约当阵，即13电气信息学院《现代控制理论课程》四、状态转移矩阵的计算直接求解法：根据定义标准型法求

5、解：对角线标准型和约当标准型待定系数法：凯利－哈密顿定理拉氏反变换法14电气信息学院《现代控制理论课程》求出的解不是解析形式，适合于计算机求解。1、根据状态转移矩阵的定义求解：对所有有限的t值来说，这个无穷级数都是收敛的。15电气信息学院《现代控制理论课程》2、标准型法求解：思路：根据状态转移矩阵性质：对A进行非奇异线性变换，得到：联立上两式，得到：有二种标准形式：对角线矩阵、约当矩阵16电气信息学院《现代控制理论课程》其中：T为使A化为对角线标准型的非奇异变换矩阵。（1）当A的特征值为两两相异时：对角线标准型求状态

6、转移矩阵的步骤：1）先求得A阵的特征值。2）求对应于的特征向量，并得到T阵及T的逆阵。3）代入上式即可得到状态转移矩阵的值。17电气信息学院《现代控制理论课程》（2）当A具有n重特征根：约当标准型其中：T为使A化为约当标准型的非奇异变换矩阵。求矩阵指数函数的步骤：此时的步骤和对角线标准型情况相同：求特征值、特征向量和变换阵T。需要说明的是：对于所有重特征值，构造约当块，并和非重特征值一起构成约当矩阵。根据状态转移矩阵的性质，求得。18电气信息学院《现代控制理论课程》3、待定系数法：将化为A的有限项多项式来求解：设n×

7、n维矩阵A的特征方程为：（1）凯利－哈密顿（以下简称C-H）定理：则矩阵A满足其自身的特征方程，即：19电气信息学院《现代控制理论课程》由定理可知：A所有高于(n-1)次的幂都可以由A的0～(n-1)次幂线性表出。并令即可得到如下的结论：即：将此式代入的定义中：其中：为t的标量函数，可按A的特征值确定。20电气信息学院《现代控制理论课程》（2）将化为A的有限项多项式来求解根据C-H定理，可将化为A的有限项表达式，即封闭形式：其中：为t的标量函数，可按A的特征值确定。21电气信息学院《现代控制理论课程》1）A的特征值两

8、两相异时，注意求逆推导：利用了A可化为对角阵的矩阵指数函数求法。注意：推导时可以看到：22电气信息学院《现代控制理论课程》注意求逆2）A的特征值为(n重根）推导：此时只有一个方程：缺少n-1个独立方程，故需要对上式求导n-1次，得到其余n-1个方程说明：不管特征值互异、还是具有重根，只需要记住式(3)。对于特征值互异，对于每个特征值，直接得到方