线性系统的运动分析第二章.ppt

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1、1第二章控制系统状态空间表达式的解2本章主要内容2-1状态方程的齐次解（自由解）2.2状态转移矩阵2.3线性定常系统非齐次方程的解2.4连续系统的时间离散化2.5线性离散系统状态方程的解31、线性定常系统的运动1）、自由运动：线性定常系统在没有控制作用，即u＝0时，由初始状态引起的运动称自由运动。齐次状态方程的解：2）、强迫运动：线性定常系统在控制u作用下的运动，称为强迫运动。非齐次状态方程的解：2-1状态方程的齐次解（自由解）42、齐次状态方程的解：满足初始状态的解是：满足初始状态的解是：（2-1）（2-2）（2-3）1）直接求解56782）用拉氏变换法求解进

2、行拉氏变换可得：则：因此：9一、状态转移矩阵的含义线性定常系统的齐次状态方程：满足初始状态的解是：满足初始状态的解是：已知：线性定常系统的状态转移矩阵令：则有：2.2状态转移矩阵10说明1：状态转移矩阵必须满足以下两个条件：1）状态转移矩阵初始条件：2）状态转移矩阵满足状态方程本身：说明2：对于线性定常系统来说，状态转移矩阵就是矩阵指数函数本身。说明3：状态转移矩阵的物理意义：从时间角度看，状态转移矩阵使状态向量随着时间的推移不断地作坐标变换，不断地在状态空间中作转移，故称为状态转移矩阵11二、状态转移矩阵的基本性质：1、不发生时间推移下的不变性：[证明]：状态

3、转移矩阵定义中，令t＝0即可得证2．传递性（组合性）证：由于又故上式成立，意为至的状态转移过程可分解为至及至的分段转移过程。124、可逆性：总是非奇异的，必有逆存在，且：[证明]：3、分解性：设A为n×n阶矩阵，t1和t2为两个独立自变量，则有：13故上式成立。5．倍时性由于6、微分性和交换性：对有：147．方阵A和B，当时，有当时，则15三、几个特殊的矩阵指数函数（1）设，即A为对角阵且具有互异元素时，有16（2）若A能通过非奇异变换为对角阵时，即(2-9)17则有(2-10)（3）设A为约当阵，即18四、状态转移矩阵的计算直接求解法：根据定义拉氏反变换法标准

4、型法求解：对角线标准型和约当标准型待定系数法：凯莱－哈密顿定理19求出的解不是解析形式，适合于计算机求解。1、根据状态转移矩阵的定义求解：对所有有限的t值来说，这个无穷级数都是收敛的。202、用拉氏变换法求解：关键是必须首先求出（sI-A）的逆，再进行拉氏反变换。2122（2-3）233、标准型法求解：思路：根据状态转移矩阵性质：对A进行非奇异线性变换，得到：联立上两式，得到：有二种标准形式：对角线矩阵、约当矩阵24其中：T为使A化为对角线标准型的非奇异变换矩阵。（1）当A的特征值为两两相异时：对角线标准型求状态转移矩阵的步骤：1）先求得A阵的特征值。2）求对应

5、于的特征向量，并得到T阵及T的逆阵。3）代入上式即可得到状态转移矩阵的值。25（2）当A具有n重特征根：约当标准型其中：T为使A化为约当标准型的非奇异变换矩阵。求矩阵指数函数的步骤：此时的步骤和对角线标准型情况相同：求特征值、特征向量和变换阵T。需要说明的是：对于所有重特征值，构造约当块，并和非重特征值一起构成约当矩阵。根据状态转移矩阵的性质，求得。26例2-1：2728294、待定系数法：将化为A的有限项多项式来求解设n×n维矩阵A的特征方程为：（1）凯莱－哈密顿（以下简称C-H）定理：则矩阵A满足其自身的特征方程，即：3031其中：为t的标量函数，可按A的特

6、征值确定。32（2）将化为A的有限项多项式来求解根据C-H定理，可将化为A的有限项表达式，即封闭形式：其中：为t的标量函数，可按A的特征值确定。331）A的特征值两两相异时，注意求逆34上式对求解即可得证。35注意求逆2）A的特征值为(n重根）推导：此时只有一个方程：缺少n-1个独立方程，故需要对上式求导n-1次，得到其余n-1个方程说明：不管特征值互异、还是具有重根，只需要记住式(3)。对于特征值互异，对于每个特征值，直接得到方程；对于特征值m重根，则求m-1次导数，补充缺少的m-1个方程。联立方程可以求出系数。36由上面的n个方程对求解，即可得证37例2-2

7、：求以下矩阵A的状态转移矩阵[解]：1）直接计算法38392）用拉氏变换法求解：403）用标准型法求解：得：，具有互异特征根，用对角线标准型法。且A为友矩阵形式。先求特征值：41424）用待定系数法求解.在第3种方法中已经求得特征根，所以得：求得矩阵指数函数如下：43或者：由和得到：从而求出系数44若线性定常系统的非奇次状态方程的解存在，则解形式如下：一、线性系统的运动规律初始状态引起的响应，零输入响应输入引起的响应,零状态响应说明：与线性定常系统齐次状态方程的解不同，齐次状态方程的解仅由初始状态引起的响应组成。2.3线性定常系统非齐次方程的解45[证]：1）先

8、把状态方程写成3）对上式