初三数学解直角三角形专题讲座人教版.doc

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1、初三数学解直角三角形专题讲座　　解直角三角形与直角三角形的概念、性质、判定和作图有着密切的联系，是在深入研究几何图形性质的基础上，根据已知条件，计算直角三角形未知的边长、角度和面积，以及与之相关的几何图形的数量。1、明确解直角三角形的依据和思路　　在直角三角形中，我们是用三条边的比来表述锐角三角函数定义的。因此，锐角三角函数的定义本质揭示了直角三角形中边角之间的关系，是解直角三角形的基础。　　如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，设三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c（以下字母同），则解直角三

2、角形的主要依据是（1）边角之间的关系：sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tgA＝ctgB＝，ctgA＝tgB＝。（2）两锐角之间的关系：A＋B＝90°。（3）三条边之间的关系：。　　以上每个边角关系式都可看作方程，解直角三角形的思路，就是根据已知条件，正确地选择直角三角形中边角间的关系式，通过解一元方程来求解。2、解直角三角形的基本类型和方法　　我们知道，由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程叫作解直角三角形，而在直角三角形中，除直角以外还有三条边及两个锐角共五个元素，那么什么样的直角三

3、角形才可解呢？如果已知两个锐角能否解直角三角形呢？　　事实上，解直角三角形跟直角三角形的判定与作图有着本质的联系，因为已知两个元素（至少有一个是边）可以判定直角三角形全等，也可以作出直角三角形，即此时直角三角形是确定的，所以这样的直角三角形是可解的。由于已知两个锐角的直角三角形是不确定的，它们是无数多个相似的直角三角形，因此求不出各边的长。所以，要解直角三角形，给出的除直角外的两个元素中，必须至少有一个是边。这样，解直角三角形就分为两大类，即已知一条边及一个锐角或已知两条边解直角三角形。四种基本类型和

4、解法列表如下：已知条件解法一边及一锐角直角边a及锐角AB＝90°－A，b＝a·ctgA，斜边c及锐角AB＝90°－A，a＝c·sinA，b＝c·cosA两边两条直角边a和b，B＝90°－A，直角边a和斜边c，B＝90°－A， 例1、如图1，若图中所有的三角形都是直角三角形，且∠A＝α，AE＝1，求AB的长。分析一：所求AB是Rt△ABC的斜边，但在Rt△ABC中只知一个锐角A＝α，暂不可解。而在Rt△ADE中，已知一直角边及一锐角是可解的，所以就从解Rt△ADE入手。解法一：在Rt△ADE中，，且∠A

5、＝α，AE＝1，，在Rt△ADC中，，在Rt△ABC中，。分析二；观察图形可知，CD、CE分别是Rt△ABC和Rt△ACD斜边上的高，具备应用射影定理的条件，可以利用射影定理求解。解法二：同解法一得，，在Rt△ACD中，，在Rt△ABC中，。说明：本题是由几个直角三角形组合而成的图形。这样的问题，总是先解出已经具备条件的直角三角形，从而逐步创造条件，使得要求解的直角三角形最终可解。值得注意的是，由于射影定理揭示了直角三角形中有关线段的数量关系，因而在解直角三角形时经常要用到。　　在解直角三角形的问题中

6、，经常会遇到这样的图形（图3），它是含有两个直角三角形的图形。随着D点在BC边上位置的变化，会引起直角三角形中有关图形数量相应的变化，从而呈现许多不同的解直角三角形的问题，下面举例加以说明。 例2、如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是BC边上的中线。（1）若BD＝，∠B＝30°，求AD的长；（2）若∠ABC＝α，∠ADC＝β，求证：tgβ＝2tgα。（1）分析：由AD是BC边的中线，只知DC一条边长，仅此无法直接在Rt△ADC中求解AD。而在Rt△ABC中，由已知BC边和∠B可以先求出AC，

7、从而使Rt△ADC可解。解：在Rt△ABC中，∵BC＝2BD＝2，∠B＝30°，∴AC＝BC·tgB＝2，在Rt△ADC中，∵DC＝BD＝，∴。（2）分析：α和β分别为Rt△ABC和Rt△ADC中的锐角，且都以直角边AC为对边，抓住图形的这个特征，根据直角三角形中锐角三角比可以证明tgβ＝2tgα。证明：在Rt△ABC中，,在Rt△ADC中，,又∵BC＝2DC,∴tgβ＝2tgα。 例3、如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线。（1）若AB∶BD＝，求∠B；（2）又若BD＝4，

8、求。分析：已知AD是∠BAC的平分线，又知两条线段的比AB∶BD＝,应用三角形内角平分线的性质定理，就能把已知条件集中转化到Rt△ADC中，先求出∠DAC即可求得∠B。解：（1）∵AD是∠BAC的平分线，,即,在Rt△ADC中，,∴∠DAC＝30°,∴∠BAC＝2∠DAC＝60°,∴∠B＝90°－∠BAC＝30°。（2）,BD＝4，∴AB＝BD＝4，∵∠B＝30°，∴AC＝AB＝2，又∵BC＝AB·cosB＝6，∴＝BC·AC＝×6×2＝6。说明：解直角