初三数学解直角三角形的应用.doc

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1、初三数学解直角三角形的应用知识精讲【同步教育信息】一.本周教学内容：解直角三角形的应用［学习目标］1.了解解直角三角形在测量及几何问题中的应用。2.掌握仰角、俯角、坡度等概念，并会解有关问题。3.会用直角三角形的有关知识解决某些简单实际问题。二.重点、难点：1.仰角、俯角在进行测量时，视线与水平线所成角中，规定：视线在水平线上方的叫做仰角。视线在水平线下方的叫做俯角。2.坡度坡面的铅直高度h和水平宽度L的比叫做坡度（或叫坡比），用字母i表示，即。如果把坡面与水平面的夹角记作（叫做坡角），那么。3.直角三角形在实际问题中的应用在解决实际问题时，解直角三角形有

2、着广泛的作用。具体来说，要求我们善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形的边，角之间的关系，这样就可运用解直角三角形的方法了。［教学难点］运用解直角三角形的知识，结合实际问题示意图，正确选择边角关系，解决实际问题。【典型例题】例1.“曙光中学”有一块三角形形状的花圃ABC，现可直接测量到∠A=30°，AC=40米，BC=25米，请你求出这块花圃的面积。解：分两种情况计算（1）如图1，过C作CD⊥AB于D，则图1，故（米2）（2）如图2，过C作CD⊥AB且交AB的延长线于D，图2由（1）可得CD=20，，所以（米2）点拨：通过作高，把解某些斜三角形的问

3、题转化为解直角三角形的问题。例2.某片绿地的形状如图3所示，其中∠A=60°，AB⊥BC，AD⊥CD，AB=200m，CD=100m，求AD、BC的长。（精确到1m，）图3解：延长AD，交BC的延长线于点E，可构成两个直角三角形，在Rt△ABE中，∠A=60°，AB=200m(m)在Rt△CDE中，∠CED=30°，CD=100m∴点拨：其他四边形，如平行四边形，梯形等，常通过作高实现多边形向直角三角形转化。例3.如图4所示，某电视塔AB和楼CD的水平距离为100米，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别为45°和60°，试求塔高和楼高。图4（精确到0.

4、1m，参考数据：）解：在Rt△ADB中，∵∠ADB=60°，DB=100m，∴在△ACE中，∠ACE=45°∴AE=CE=100∴答：电视塔高是173.2m，楼高是73.2m。点拨：搞清仰角、俯角等概念，同时要找合适的直角三角形。例4.如图5，在比水面高2m的A地，观测河对岸有一直立树BC的顶部B的仰角为30°，它在水中的倒影B'C顶部B'的俯角是45°，求树高BC（结果保留根号）图5解：设树高BC=x(m)，过A作AE⊥BC于E，在Rt△ABE中，∴∵∠B'AE=45°，AE⊥BC又∵∴∴答：树高BC为点拨：树与树的倒影长度相等，即BC=B'C，是此题的

5、隐含条件。例5.为防水患，在漓江上游修筑防洪堤，其横截面为一梯形，如图6，堤的上底宽AD和堤高DF都是6米，其中∠B=∠CDF。图6（1）求证：△ABE∽△CDF；（2）如果tanB=2，求堤的下底BC的长。（1）证明：∵AE⊥BC，DF⊥BC∠B=∠CDF∴△ABE∽△CDF（2）解：在Rt△ABE中，∴在Rt△CDF中，∴CF=2DF=12∴答：堤的下底BC的长是21m。点拨：与堤坝有关的问题，首先要搞清坡度（坡比），坡角等概念，同时还要将四边形问题转化为解直角三角形。例6.如图7，水库的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡CD坡度i'=1：1，

6、斜坡AB坡度，求斜坡AB的长及坡角和坝底宽AD（精确到0.1m）。图7解：过B，C两点分别作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，则m，在Rt△ABE中，∵∴在Rt△CFD中，∴FD=CF=23（m）∴答：斜坡AB长4m，坡角α为30°，坝底宽AD约为68.8m。点拨：求出近似值要符合题目要求。例7.如图8，某轮船沿正北方向航行，在A点处测得灯塔C在北偏西30°，船以每小时20海里的速度航行2小时到达B点后，测得灯塔C在北偏西75°，问当此船到达灯塔C的正东方时，船距灯塔C有多远？（结果保留两位有效数字）？图8解：在△ABC中，AB=20×2=40（海里），∠A

7、=30°过B作BE⊥AC于E则（海里）（海里）∴（海里）过C作CD⊥AB于D，则（海里）答：船到达灯塔正东时，它距灯塔27.32海里。点拨：搞清方向角的概念，同时会找合适的直角三角形。例8.今年入夏以来，松花江哈尔滨段水位不断下降，达到历史最低水位，一条船在松花江某水段自西向东沿直线航行，在A处测得航标C在北偏东60°方向上，前进100米到达B处，又测得航标C在北偏东45°方向上，如图9，在以航标C为圆心，120米长为半径的圆形区域内有浅滩，如果这条船继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？图9解：如图9，过点C作CD⊥AB，设垂足为D，在Rt△ADC中，在Rt

8、△BDC中，∴∴∵136.5米＞120米，故没有危险。答：若船继续