2015《金榜e讲堂》高三人教版数学（理）一轮复习课件选修45 第2节 不等式的证明.ppt

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1、第二节不等式的证明[主干知识梳理]一、比较法1．求差比较法：知道a＞b⇔a－b＞0，a＜b⇔a－b＜0，因此要证明a＞b，只要证明即可，这种方法称为求差比较法．a－b＞0二、分析法从所要证明的出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实，从而得出要证的命题成立，这种证明方法称为分析法，即“执果索因”的证明方法．结论三、综合法从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理，论证而得出命题成立，这种证明方法称为综合法即“由因寻果”的方法．四、放缩法在证明不等式时，有时我们要把所证不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化

2、不等式，从而达到证明的目的．这种方法称为放缩法．五、反证法的步骤1．作出否定的假设；2．进行推理，导出；3．否定，肯定．结论矛盾假设结论(a1b1＋a2b2)2[关键要点点拨]1．综合法与分析法的内在联系综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚．当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，用分析法寻找证明的思路，而用综合法叙述、表达整个证明过程．2．放缩法证明不等式的主要理论依据(1)不等式的传递性；(2)等量加不等量为不等量；(3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．[注意]放缩要适度，“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量

3、的大小是由题目分析，多次尝试得出．3．柯西不等式的形式特点从形式结构上看，柯西不等式大的一边是两个向量的模平方之积的形式，小的一边是向量数量积的坐标运算的平方形式，可简记为“方和积不小于积和方”.比较法证明不等式[规律方法]比较法证明不等式最常用的是作差法，其基本步骤是：①作差；②变形；③判断差的符号；④下结论．其中“变形”是关键，通常将差变形成因式乘积的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断正负．综合法、分析法证明不等式a2＋b2＋c2(当且仅当a＝b＝c时等号成立)成立．∴原不等式成立．[规律方法]分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较

4、法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．放缩法证明不等式2．在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度．柯西不等式及应用【思路导析】(1)运用重要不等式进行转化求解；(2)运用均值不等式求解，还要注意“1”的整体代换．【高手支招】证明不等式的基本方法(1)证明不等式的传统方法有：比较法、综合法、分析法．比较法常用作差比较法和作商比较法两种．用综合法证明不等式时，主要是运用平均值不等式证明，一方面要注意平均值不等式成立的条件，另一方面要善于对式子进行

5、恰当的转化、变形．如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法．综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单，条理清楚，当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证明的思路，而用综合法叙述、表达整个证明过程．(2)不等式证明还有一些常用方法：拆项法、添项法、逆代法、换元法、放缩法、反证法、函数的单调性法、判别式法、数形结合法．换元法主要有三角代换、均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性．放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考察．有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法

6、．存在性、唯一性等问题或题目中带有“至少有一个”“至多有一个”“不能都”等字样的问题，都可以用反证法．[体验高考]1．(2013·湖南高考)已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为________．解析由柯西不等式，得(a2＋4b2＋9c2)·(12＋12＋12)≥(a·1＋2b·1＋3c·1)2＝36，故a2＋4b2＋9c2≥12.从而a2＋4b2＋9c2的最小值为12.答案12