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1、高中数学知识点复习第九章立体几何知识结构一.平面的基本性质二.空间两直线的位置关系三.直线和平面平行的判定和性质四.直线和平面垂直的判定和性质五.两个平面平行的判定和性质六.两个平面垂直的判定和性质七.空间向量练习1正方体ABCD—A1B1C1D1，E是BB1上的点。画出平面AEC1和平面ABCD的交线。一、平面的基本性质如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．公理1用来判定一条直线是否在平面内,或直线上的点是否在平面内。D1B1A1C1CADBEF作用如果两个平面有一个公共点，那
2、么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．公理21、用来判定两平面是否相交；2、画两个相交平面的交线；即:3、证明多点共线.练习2：已知ΔABC在平面α外，AB、AC、BC的延长线分别与平面α交于点M、N、P三点，求证：M、N、P三点共线。BACMNP作用，GHABCDEPF1、确定平面2、证明点、线共面。ACB公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。作用推论1.一条直线和直线外一点唯一确定一个平面。LABC推论2.两条相交直线唯一确定一个平面。推论3.两条平行直线唯一确
3、定一个平面。ααa3ACPa1a2BLl3ACBl1l2例2:已知三条直线l1,l2,l3两两相交，且不过同一点，求证：直线l1,l2,l3在同一平面内。例3:直线L与过点P的三条直线a1,a2,a3分别交于A，B，C三点（A，B，C异于点P），求证：这四条直线共面。二、空间两直线的位置关系平行相交异面共面（两直线没有公共点）（两直线只有一个公共点）（两直线没有公共点）不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。（也就是既不相交又不平行的两条直线）1、异面直线如图：已知E,F分别是所在棱的中点D1B1A1C1CA
4、DBOD1B1A1C1CADBEFEFAE和BF是异面直线吗?AE和CF是异面直线吗?2.异面直线的画法:通常用一个或两个平面来衬托异面直线不同在任何一个平面的特点θa′θ如图所示,a、b是两条异面直线,在空间中任选一点O，过O点分别作a、b的平行线a′和b′,则a′和b′所成的锐角θ,（或直角），称为异面直线a，b所成的角,也叫异面直线a，b的夹角。aba′b′O若两条异面直线所成角为90°，则称它们互相垂直。异面直线a与b垂直也记作a⊥b异面直线所成角θ的取值范围：平移3.异面直线成的角:O4.求异面直线所成
5、的角:求两条异面直线所成角的步骤:1.选点,引平行线找到所求的角;2.把该角放入三角形;3.根据边角关系计算,求角.例1.正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是BB1,CC1的中点，求AE,BF所成的角FD1B1A1C1CADBE在解答过程中要突出“做、证、指、求”这几步。例2：已知正方体的棱长为a,M为AB的中点,N为BB1的中点，求A1M与C1N所成角的余弦值。解：如图，取A1B1的中点E,连BE,有BE∥A1M取CC1的中点G，连BG.有BG∥C1N则∠EBG即为所求角。BG=BE=a，FC1=a
6、由余弦定理，cos∠EBG=2/5取EB1的中点F，连NF，有BE∥NF则∠FNC1为所求角。想一想：还有其它定角的方法吗？在△EBG中A1D1C1B1ABCDMNEG例3.在空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a,M,N分别是BC,AD的中点，求异面直线AM,CN所成角。EABDCMN例4.A是△BCD所在平面外一点，AD=BC,E,F分别是AB,CD的中点。（1）若EF=AD,求异面直线AD和BC所成的角。（2）若EF=AD,求异面直线AD和BC所成的角。ABDCEFG例5.长方体ABC
7、D-A1B1C1D1中，AB=2,BC=1，AA1=1,求异面直线D1B与AC所成角的余弦值.D1B1A1C1CADBGOE探究:HGCADBEFGHEF(B)(C)DAAB,CD,EF,GH这四条线段所在的直线是异面直线的有几对?相交直线有几对?平行直线有几对?若a∥b，b∥c,公理4平行于同一直线的两直线互相平行则a∥c5.平行关系的传递性例1：在正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线AB与C1D1，AD1与BC1是什么位置关系？为什么？C1ABCDA1B1D1例2已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的空
8、间四边形，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，连结EF，FG，GH，HE，求证EFGH是一个平行四边形。ABDEFGHC解题思想：把所要解的立体几何问题转化为平面几何的问题是解立体几何时最主要、最常用的一种方法。6.等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。D1B1A1C1CADB右图平行六面体中与∠BAD相等的角是哪些角,为什么?
