专题训练1函数的零点.docx

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1、函数的零点【例1】►函数f(x)＝－cosx在[0，＋∞)内(　　)．A．没有零点B．有且仅有一个零点C．有且仅有两个零点D．有无穷多个零点B确定函数零点的常用方法：①解方程判定法，若方程易求解时用此法；②零点存在的判定定理法，常常要结合函数的性质、导数等知识；③数形结合法．【突破训练1】函数f(x)＝的零点个数为(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　A．0B．1C．2D．3答案：C　【突破训练2】(2011·北京)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．答案　(0,1)利用导数来研究函数的零点问

2、题利用导数可判断函数图象的变化趋势及单调性，而函数的单调性往往与方程的解交汇命题．因此，可借助导数这一工具来研究函数的零点问题．【例2】►已知函数f(x)＝axsinx－(a∈R)，且在上的最大值为.(1)求函数f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)在(0，π)内的零点个数，并加以证明．[满分解答]　(1)由已知得f′(x)＝a(sinx＋xcosx)，对于任意x∈，有sinx＋xcosx＞0.当a＝0时，f(x)＝－，不合题意；当a＜0时，x∈时，f′(x)＜0，从而f(x)在内单调递减，又f(x)在上的图象是连续不间断的，故f(x)在上的最大值为f(0)＝

3、－，不合题意；(4分)当a＞0，x∈时，f′(x)＞0，从而f(x)在内单调递增，又f(x)在上的图象是连续不间断的，故f(x)在上的最大值为f，即a－＝，解得a＝1.综上所述，得f(x)＝xsinx－.(6分)(2)f(x)在(0，π)内有且只有两个零点．证明如下：由(1)知，f(x)＝xsinx－，从而有f(0)＝－＜0，f＝＞0，又f(x)在上的图象是连续不间断的，所以f(x)在内至少存在一个零点．又由(1)知f(x)在上单调递增，故f(x)在内有且只有一个零点．(9分)当x∈时，令g(x)＝f′(x)＝sinx＋xcosx.由g＝1＞0，g(π)＝－π＜

4、0，且g(x)在上的图象是连续不间断的，故存在m∈，使得g(m)＝0.由g′(x)＝2cosx－xsinx，知x∈时，有g′(x)＜0，从而g(x)在内单调递减．当x∈时，g(x)＞g(m)＝0，即f′(x)＞0，从而f(x)在内单调递增，故当x∈时，f(x)≥f＝＞0，故f(x)在上无零点；(12分)当x∈(m，π)时，有g(x)＜g(m)＝0，即f′(x)＜0，从而f(x)在(m，π)内单调递减．[又f(m)＞0，f(π)＜0，且f(x)在[m，π]上的图象是连续不断的，从而f(x)在(m，π)内有且仅有一个零点．综上所述，f(x)在(0，π)内有且只有两个

5、零点．(14分)老师叮咛：本题综合考查了导数法判断函数的单调性、最值和函数零点的判断.第(1)问需对a分类讨论，利用f′(x)的正负与f(x)单调性的关系求得结果.第(2)问需要经过二次求导，原因是一次求导不能判断其导数的正负，还需第二次求导，再结合零点存在定理判断函数在某个区间内零点存在情况.【试一试】已知函数f(x)＝x3，g(x)＝x＋.求函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点个数，并说明理由．解　h(x)恰有两个零点．分离x,=0与否。换元根号x为t.例3。(2012辽宁)设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，且当x∈

6、[0，1]时，f(x)＝x3.又函数g(x)＝

7、xcos(πx)

8、，则函数h(x)＝g(x)－f(x)在[－，]上的零点个数为(　　)A．5B．6C．7D．8B作图，需用x=0.25.例4.已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．[答案]　(1，＋∞)训练11．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)2．函数f(x)＝xcosx2在区间[0,4]上的零点个数为(　　)．A．4B．5

9、C．6D．73．函数f(x)＝x－x的零点个数为(　　)．A．0B．1[来源:学科网]C．2D．3高考对本部分的考查有：(1)①确定函数零点；②确定函数零点的个数；③根据函数零点的存在情况求参数值或取值范围．1．关于零点问题，要学会分析转化，能够把与之有关的不同形式的问题，化归为适当方程的零点问题．答案1：B　答案C　答案B　2.零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．注意以

10、下两点：①满足条件的零点