2013年高考数学闯关密练特训11-4数学闯关密练特训归纳法(理)新人教A版(含解析).doc

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1、11-4数学归纳法(理)闯关密练特训n21.(2011·威海模拟)在用数学归纳法证明“2>n对从n0开始的所有正整数都成立”时，第一步验证的n0等于()A．1B．3C．5D．7[答案]Cn2[解析]n的取值与2，n的取值如下表：n123456…[来源:Z*x*k.Com]n2248163264…2n149162536…n2n2由于2的增长速度要远大于n的增长速度，故当n>4时恒有2>n.12．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验第一个值n02等于()A．1B．2C．3D．4[答案]C[解析]因为凸n边形的边数最少为3，故验证的第一个值n0＝3.11113．若f

2、(n)＝1＋＋＋＋…＋(n∈N＋)，则f(1)为()2346n－11A．1B.51111C．1＋＋＋＋D．非以上答案[来源:学&科&网Z&X&X&K]2345[答案]C[解析]注意f(n)的项的构成规律，各项分子都是1，分母是从1到6n－1的自然数，1111故f(1)＝1＋＋＋＋.23454．数列{an}中，已知a1＝1，当n≥2时，an－an－1＝2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是()2A．an＝3n－2B．an＝nn－1C．an＝3D．an＝4n－3[答案]B2[解析]a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n.11115．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则

3、()2nn＋1n＋2nA．f(n)中共有n项B．f(n)中共有n＋1项22C．f(n)中共有n－n项D．f(n)中共有n－n＋1项[来源:Zxk.Com][答案]D222[解析]f(n)的分母从n开始取自然数到n止，共有n－(n－1)＝n－n＋1项．6．一个正方形被分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖去，如图(1)；再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个挖去，得图(2)；如此继续下去……则第n个图共挖去小正方形()nnA．(8－1)个B．(8＋1)个1n1nC.(8－1)个D.(8＋1)个77[答案]C2[解析]第1个图挖去1个，第2个图挖去1＋8个，第3个图

4、挖去1＋8＋8个……第nn2n－18－1个图挖去1＋8＋8＋…＋8＝个．7nn7．(2011·徐州模拟)用数学归纳法证明命题“当n为正奇数时，x＋y能被x＋y整除”，第二步假设n＝2k－1(k∈N＋)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真．[答案]2k＋18．(2012·长春模拟)如图，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来的(n＝1,2,3，…)，*则第n－2(n≥3，n∈N)个图形共有________个顶点．[答案]n(n＋1)[解析]当n＝1时，顶点共有3×4＝12(个)，当n＝2时，顶点共有4×5＝20(个)，当n＝3时，顶点共有5×6＝30(个)，当n＝4时，顶点共

5、有6×7＝42(个)，故第n－2图形共有顶点(n－2＋2)(n－2＋3)＝n(n＋1)个．*9．已知点列An(xn,0)，n∈N，其中x1＝0，x2＝a(a>0)，A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，…An是线段An－2An－1的中点，…，(1)写出xn与xn－1、xn－2之间的关系式(n≥3)；(2)设an＝xn＋1－xn，计算a1，a2，a3，由此推测数列{an}的通项公式，并加以证明．xn－1＋xn－2[解析](1)当n≥3时，xn＝.2(2)a1＝x2－x1＝a，x2＋x111a2＝x3－x2＝－x2＝－(x2－x1)＝－a，222x3＋x211a3＝x4－x3＝－

6、x3＝－(x3－x2)＝a，2241n－1*由此推测an＝(－)a(n∈N)．2证法1：因为a1＝a>0，且xn＋xn－1xn－1－xn11an＝xn＋1－xn＝－xn＝＝－(xn－xn－1)＝－an－1(n≥2)，22221n－1所以an＝(－)a.2证法2：用数学归纳法证明：10(1)当n＝1时，a1＝x2－x1＝a＝(－)a，公式成立．21k－1(2)假设当n＝k时，公式成立，即ak＝(－)a成立．那么当n＝k＋1时，2xk＋1＋xk1111k－11(k＋1)－1ak＋1＝xk＋2－xk＋1＝－xk＋1＝－(xk＋1－xk)＝－ak＝－(－)a＝(－)a，公222222*1n－1式仍

7、成立，根据(1)和(2)可知，对任意n∈N，公式an＝(－)a成立．213110．已知函数f(x)＝x－x，数列{an}满足条件：a1≥1，an＋1≥f′(an＋1)．试比较31＋a1111＋＋＋…＋与1的大小，并说明理由．1＋a21＋a31＋an2[解析]∵f′(x)＝x－1，an＋1≥f′(an＋1)，2∴an＋1≥(an＋1)－1.22∵函数g(x)＝(x＋1)－1＝x＋2x在区间[－1，＋∞)上单调递增，于是由a