经济数学2.3微分ppt课件.ppt

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1、一.微分定义及几何意义ESC§2.3微分§2.3微分二.基本初等函数的微分公式及运算法则三.微分在商务计算中的应用ESC一.微分的定义一.微分的定义先看一个具体例子.给定函数，当取得改变量时，相应的因变量的改变量为其中是的线性函数，而对于，当时，有和后者这一性质也称为当时，是高阶无穷小，记作.当很小时，虽然也很小，但是是的高阶无穷小，在求时仍可忽略不计，故有.这时把叫做函数在点处的微分，记作定理1设函数在处可导，对于自变量在处的改变量，函数相应的改变量可表示为其中为主要部分（线性主部），而为次要部分。一.微分的定义ESCESC一.微分定义一.微

2、分定义函数的微分函数的导数密切相关定义2.5设函数在点可导,自变量在点的改变量为,乘积称为函数在点的微分.这时,也称函数在点可微.函数的微分记作,即通常把自变量的改变量称为自变量的微分,记作,即于是函数的微分,一般记作即函数的微分等于函数的导数与自变量的微分的乘积.ESC因变量的微分自变量的微分可写作即函数的导数若函数在区间上的每一点都可微,则称在区间上可微,或称为区间上可微函数.等于函数的微分与自变量的微分之商.即若,则函数在点的微分,记作一.微分定义ESC对函数只要能求出再乘以便可得函数的微分例1据微分定义知求函数的微分解先求导数.由幂函

3、数的导数公式于是,函数的微分一.微分定义ESC一.微分定义例2求函数　　　在　　，　　　时的改变总量及微分．解；.可见.ESC例3解由导数与微分的关系,先求导数.由乘积的导数公式于是,所求函数的微分一.微分定义已知求。ESC例4解由导数与微分的关系,先求导数.于是,所求函数的微分设求一.微分定义ESC一.微分定义例5求下列函数的微分：(1)；(2)　　　　　．解(1)所以．(2)，．ESC一.微分定义TNMy=f(x)xyP二、微分的几何意义：Q函数微分的几何意义就是：在曲线上某一点处．当自变量取得改变量　　时，曲线在该点处切线纵坐标的改变量．

4、ESC一.微分定义三、可导与可微的关系函数在点处可微在处可导。且ESC§2.2导数运算一定要熟记!!!二.基本初等函数的微分公式一、微分公式ESC§2.2导数运算二.基本初等函数的微分公式练习：选取适当的函数填入括号内，使下列等式成立ESC§2.2导数运算二.基本初等函数的微分公式二、微分的四则运算法则设函数，可微，则（c为常数）ESC§2.2导数运算二.基本初等函数的微分公式以　　　　为中间变量的复合函数的微分无论　是自变量还是中间变量，的微分　总可以用　　与　的乘积来表示．函数微分的这个性质叫做微分形式的不变性．三、微分形式的不变性，ESC

5、§2.2导数运算二.基本初等函数的微分公式例6设，求解：由微分形式不变性得：ESC§2.2导数运算二.基本初等函数的微分公式例7求下列函数的微分解用微分运算法则计算ESC§2.2导数运算二.基本初等函数的微分公式ESC§2.2导数运算三.微分在商务计算中的应用利用微分可以进行近似计算.由微分的定义知，在点，当　　很小时，有近似公式．这个公式可以直接用来计算函数增量的近似值．，，即　　　　　　　　　　　　　　．这个公式则可以用来计算函数在某一点附近的函数值的近似值．ESC§2.2导数运算三.微分在商务计算中的应用令则若取当很小时，又有近似公式：常

6、用的近似公式：（很小时）例如ESC§2.2导数运算三.微分在商务计算中的应用例8设某国的国民经济消费模型为．其中：　为总消费(单位：十亿元)；　为可支配收入单位：十亿元).当　　　　　时，问总消费是多少？解令　　　　，　　　　，因为　相对于　较小，可用上面的近似公式来求值．ESC§2.2导数运算三.微分在商务计算中的应用(十亿元)．ESC§2.2导数运算三.微分在商务计算中的应用例9某商店每周销售商品件，所获得利润依下式计算当每周销售量由10件增加到11件时，试用微分计算利润增加的近似值.解依题意有，故故所以ESC§2.2导数运算三.微分在商务

7、计算中的应用有当该商店每周销售量由10件增至11件时，其增加的利润约为8元.例10设某商品的需求函数为，其中为单位商品的价格（元），为某商品的月需求量（千件）.试用微分方法求当该商品的价格从8元增加到8.5元时，月需求量变化的情况.ESC§2.2导数运算三.微分在商务计算中的应用解依题意，（千件）（件）故该商品当价格从8元增加到8.5元时，月需求量减少约165件.ESC§2.2导数运算内容小结1.微分概念微分的定义及几何意义可导可微2.微分运算公式及运算法则计算函数的微分有两种方法：（1）先求导数，再乘上。便得到（2）直接用基本初等函数的微分公

8、式和微分运算法则。3.微分的应用─近似计算ESC课堂练习一、求下列函数的微分（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）二、求下列函数的近似值ES