第八讲曲线积分ppt课件.ppt

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1、第八讲曲线积分一、对弧长的曲线积分二、对坐标的曲线积分三、格林公式及其应用设是空间中一条有限长的光滑曲线,义在上的一个有界函数,都存在,上对弧长的曲线积分,记作若通过对的任意分割局部的任意取点,1.定义下列“乘积和式极限”则称此极限为函数在曲线或第一类曲线积分.称为被积函数，称为积分弧段.曲线形构件的质量和对机动目录上页下页返回结束一、对弧长的曲线积分如果L是xoy面上的曲线弧,如果L是闭曲线,则记为则定义对弧长的曲线积分为机动目录上页下页返回结束思考:若在L上f(x,y)≡1,2.性质（k为常数)(由组成)(l为曲线弧的长度)机动目录上页下页返回结束3、对弧长的曲线积分的计算法

2、基本思路:计算定积分转化定理:且上的连续函数,是定义在光滑曲线弧则曲线积分求曲线积分机动目录上页下页返回结束说明:积分限必须满足如果曲线L的方程为则有如果方程为极坐标形式:则推广:设空间曲线弧的参数方程为则机动目录上页下页返回结束例1.计算其中L是抛物线与点B(1,1)之间的一段弧.解:上点O(0,0)机动目录上页下页返回结束例2.圆弧L的半径为R,中心角为，求解:建立坐标系如图,则机动目录上页下页返回结束例3.计算曲线积分其中为螺旋的一段弧.解:线机动目录上页下页返回结束例4.设C是由极坐标系下曲线及所围区域的边界,求解:分段积分机动目录上页下页返回结束二、对坐标的曲线积分1.定义.设L为

3、xoy平面内从A到B的一条有向光滑弧,都存在,在有向曲线弧L上对坐标的曲线积分,则称此极限为函数或第二类曲线积分.其中,L称为积分弧段或积分曲线.称为被积函数,在L上定义了一个向量函数记作机动目录上页下页返回结束把L任意分成n个小弧段,若若为空间曲线弧,记称为对x的曲线积分;称为对y的曲线积分.若记,对坐标的曲线积分也可写作类似地,机动目录上页下页返回结束2.物理意义：设一质点受如下变力作用在xoy平面内从点A沿光滑曲线弧L移动到点B,则变力所作的功机动目录上页下页返回结束3.性质(1)若L可分成k条有向光滑曲线弧(2)用L－表示L的反向弧,则则说明:对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!

4、机动目录上页下页返回结束4、对坐标的曲线积分的计算法定理:在有向光滑弧L上有定义且L的参数方程为则曲线积分连续,说明:存在,且有机动目录上页下页返回结束特别是,如果L的方程为则对空间光滑曲线弧:类似有定理目录上页下页返回结束例1.计算其中L为沿抛物线解法1取x为参数,则解法2取y为参数,则从点的一段.机动目录上页下页返回结束例2.计算其中L为(1)半径为a圆心在原点的上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点A(a,0)沿x轴到点B(–a,0).解:(1)取L的参数方程为(2)取L的方程为则则机动目录上页下页返回结束例3.计算其中L为(1)抛物线(2)抛物线(3)有向折线解:(1)原式(2)原式

5、(3)原式机动目录上页下页返回结束例4.设在力作用下,质点由沿移动到解:(1)(2)的参数方程为试求力对质点所作的功.其中为机动目录上页下页返回结束思考：已知为折线ABCOA(如图),计算提示:机动目录上页下页返回结束区域D分类单连通区域(无“洞”区域)多连通区域(有“洞”区域)域D边界L的正向:域的内部靠左定理1.设区域D是由分段光滑正向曲线L围成,则有(格林公式)函数在D上具有连续一阶偏导数,三、格林公式机动目录上页下页返回结束推论:正向闭曲线L所围区域D的面积格林公式例如,椭圆所围面积定理1目录上页下页返回结束例1.设L是一条分段光滑的闭曲线,证明证:令则利用格林公式,得机动目录上

6、页下页返回结束例2.计算其中L是圆周，取逆时针方向。解:则机动目录上页下页返回结束设L所围成的区域为D由格林公式有：原式例3.计算其中L为三顶点分别为(0,0),(3,0),(3,2)三角形正向边界。解:设L所围区域为D,由格林公式知机动目录上页下页返回结束四、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理2.设D是单连通域,在D内具有一阶连续偏导数,(1)沿D中任意光滑闭曲线L,有(2)对D中任一分段光滑曲线L,曲线积分(3)(4)在D内每一点都有与路径无关,只与起止点有关.函数则以下四个条件等价:在D内是某一函数的全微分,即机动目录上页下页返回结束例6.验证是某个函数的全微分,并求出这个函数.证:

7、设则由定理2可知,存在函数u(x,y)使。。机动目录上页下页返回结束