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时间:2020-09-14
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1、行列式的计算方法介绍7种常用方法1三角化方法:通过行列初等变换将行列式化为三角型行列式.例1计算n+1阶行列式2把某一行(列)尽可能化为零例2计算:3递归法(数学归纳法):设法找出Dn和低级行列式间的关系,然后进行递归.例4证明:例5证明范德蒙行列式(n³2)4加边法:对行列式Dn添上一适当行和列,构成行列式Dn+1,且Dn+1=Dn例6证明:5拆分法:将行列式表为行列式的和的方法.即如果行列式的某行(或列)元素均为两项和,则可拆分为两个行列式之和例7设abcd=1,求证:6利用行列式的乘积:为求一个行列式D的值,有时可再乘上一个
2、适当的行列式D;或把D拆分为两个行列式的积.例8(1)(2)设Sk=l1k+l2k+¼+lnk(k=1,2…),求证:7利用拉普拉斯定理求行列式的值.拉普拉斯定理是行列式按某一行(或列)展开定理的推广.定义(1)在n阶行列式D中,任取k行k列(1£k£n),位于这k行k列交叉处的k2个元素按原来的相对位置组成的k阶行列式S,称为D的一个k阶子式.如:D=则D的一个2阶子式为:S=在一个n阶行列式中,任取k行,由此产生的k阶子式有个.(2)设S为D的一个k阶子式,划去S所在的k行k列,余下的元素按原来的相对位置组成的n-k阶行列式M
3、称为S的余子式.又设S的各行位于D中的第i1,i2…ik行,S的各列位于D中的第j1,j2…jk列,称A=(-1)(i1+i2+…+ik)+(j1+j2+…+jk)M.如:则D的一个2阶子式为:S=M=为S的2阶子式M=(-1)(1+3)+(1+3)为S的代数余子式.拉普拉斯定理:若在行列式D中任取k行(1£k£n-1),则由这k行所对应的所有k阶子式与它们的代数余子式的乘积等于D.例9计算例10块三角行列式的计算设:或则:detA=(detB)(detC).特别地:若A=diag(A1,A2,…,At),则DetA=(detA1
4、)(detA2)…(detAt).例11设分块矩阵,其中0为零阵,B和D可逆,求A-1.例12计算例13设:,BCT=0.证明:
5、AAT
6、=
7、BBT
8、
9、CCT
10、.
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