线段的垂直平分线和角平分线的复习

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1、线段的垂直平分线和角平分线的复习知识结构几何证明依据演绎推理定义公理定理命题逆命题互逆逆定理互逆线段的垂直平分线及其逆定理角的平分线及其逆定理知识回顾线段垂直平行线的定理线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等.∵MN⊥AB,CA=CB(已知)∴PA=PB（线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等）12CBAMNP知识回顾线段垂直平行线的逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.∵AB=AC(已知)∴点A在线段BC的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）知识回顾在角的平分线上的点到这个角两边

2、的距离相等．角的平分线的性质定理：ABO12PEDC∵OP平分∠AOB，PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE（在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等）．知识回顾ABO12PEDC在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.角平分线性质定理的逆定理：∴OP平分∠AOB∵PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE.（在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上）.知识运用例题1写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假：（1）钝角三角形有两个内角是锐角.（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.如何写出一个命题的逆命题？解：（1）

3、如果一个三角形的两个内角是锐角，那么这个三角形是钝角三角形.这个逆命题是假命题.（2）一个三角形中，如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.这个逆命题是真命题.如何证明一个命题是假命题？如何证明一个命题是真命题？举反例1.画图；2.写已知，求证；3.证明知识运用例题2如图，已知及线段a，点C在OM上，求作点P，使点P到OM、ON的距离相等，且PC=a.分析：（1）到OM、ON的距离相等的点的轨迹是什么？（2）满足PC=a.点P的轨迹是什么?P2P1∴点P1、P2为所求的点.知识运用练习下列过程是否正确？ABOPED∴点P在∠AOB的平分线上.∵PD=

4、PE,（在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上）.错误.∵AB=AC，∴AP⊥BC.（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.P错误.过一个点不能确定一条直线.知识运用例题3已知：如图，AP、BP分别平分∠DAB和∠CBA，PE、PF分别垂直于AD、BC，垂足为E、F.求证：点P在EF的垂直平分线上.分析：（1）从已知条件你能想到什么定理？（3）能得到什么结论?（4）用什么定理来证明结论?（2）缺少了什么?怎么办？G角平分线上的点到另一边的垂线段.添加辅助线.添辅助线的目的是什么？构造角平分线的基本图形.知识运用例题3已知：如图，AP

5、、BP分别平分∠DAB和∠CBA，PE、PF分别垂直于AD、BC，垂足为E、F.求证：点P在EF的垂直平分线上.证明：过点P作PG⊥AB，垂足为点G.G∵AP平分∠BAD,PE⊥AD(已知)，PG⊥AB(已作)，∴PE＝PG（角平分线上的点到角两边的距离相等）.同理：PG＝PF.∴PE＝PF(等量代换).∴点P在EF的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.知识运用例题3已知：如图，AP、BP分别平分∠DAB和∠CBA，PE、PF分别垂直于AD、BC，垂足为E、F.求证：点P在EF的垂直平分线上.问：（1）若把上图中的AD、BC延长相交于点

6、O，点P还落在什么特殊的位置上？为什么？GG由角平分线的逆定理可得点P在∠BOA的角平分线上.（2）OE＝OF吗？为什么？全等三角形的对应边相等.知识运用例题4已知：△ABC中，∠ABC角平分线与AC的垂直平分线交于点N，ND⊥AB，NE⊥BC，点D、E分别为垂足.分析：（1）从角平分线和角两边的两条垂线段，你能得到什么结论？（2）怎样来理解这个条件?求证：AD＝EC.（3）怎样来证明结论?12点N在AC的垂直平分线上.怎样来利用这个条件?添加辅助线.添辅助线的目的是什么？构造垂直平分线的基本图形.同时构造了全等三角形.H.L知识运用例题4已知：△ABC中，∠ABC角平分线

7、与AC的垂直平分线交于点N，ND⊥AB，NE⊥BC，点D、E分别为垂足.证明：联结AN、CN.求证：AD＝EC.∵BN平分∠ABC，DN⊥AB,EN⊥BC（已知），∴ND＝NE（角平分线上的点到角两边的距离相等），且∠1=∠2=90°（垂直的定义）.12∵点N在AC的垂直平分线(已知)，∴NA＝NC（线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等）.在Rt△ADN和Rt△CEN中，DN＝EN(已证)，AN＝NC(已证).∴Rt△AND≌Rt△CEN（H.L）．∴AD＝EC(全等三角形对应边相等).适时小结当