第一章电磁现象的普遍规律习题.doc

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1、第一章电磁现象的普遍规律习题例：同轴传输线内导线半径为a，外导线半径为b，两导线间为均匀介质。导线载有电流I，两导线间电压为U。（1）忽略导线电阻，计算介质中能流密度。（2）导线电阻率为有限，计算通过内导线表面进入导线内的能流，证明它等于导线的损耗功率。解：（1）以距对称轴为r的半径作一圆周应用安培环路定律，由对称性得，因而有导线表面带有电荷，设单位长导线电荷为Q，应用高斯定理，由对称性得由以上两式可知能流密度为两导线间的电压为因而对能流作截面的积分得传输功率这就是功率在场中的传输。（8分）（2）设导线的电导率为，由欧姆定律知在导线内有由于电场切向分量连续，因此在导线表面除有分量外，

2、还有切向分量因此，能流除沿z轴传播分量外，还有沿径向进入导线的分量流进单位长度导线内的功率为（8分）这里正是单位长导线的损耗功率。7、有一内外半径分别为和的空心介质球，介质的电容率为.使介质内均匀带静止自由电荷求：（1）空间各点电场；（2）极化体电荷和极化面电荷分布。解：（1）由高斯定理及体系的对称性知当时，得：当时，得：当时，（2）由极化体电荷的表达式，及得由极化面电荷的表达式得：当时，由于真空中＝0，得：当时，由于真空中＝0，得：8、内外半径分别为和的无穷长中空导体圆柱，沿轴向有恒定的均匀电流，导体的磁导率为，求磁感应强度和磁化电流。解：由安培环路定律得11、平行板电容器内有两层

3、介质，它们的厚度分别为和，电容率分别为和，在两极板上接电动势为E的电池，求：（1）电容器两极板上的自由电荷密度；（2）介质分界面上的自由电荷密度。若介质漏电，电导率分别为和，当达到恒定电流时求上述结果。解：由对称性知，在相同介质层内电场均匀，且都与极板垂直，因此有由于没有漏电，介质界面上没有自由电荷分布，即。由边值关系得这里界面法线方向由介质2指向介质1，由以上两式解得：将边值关系应用到上下两个界面，由于金属内，在不同界面上一个是金属内的电场减介质内电位移矢量，另一个界面是介质内电位移矢量减金属内电场，因此有当漏电时，由于达到稳恒电流，有。在界面上选一圆柱，求电流密度矢量的通量，得：

4、（由于电场垂直界面）。由欧姆定律：可知：解得：由此得：由此得：应用边值关系式得：12、两介电常数分别为和的绝缘介质界面上无自由电荷分布，求证电场折线在界面处满足：(1)，这里和分别是界面两侧电场线与法线夹角。(2)当两种介质内有恒定电流时，，这里和分别是两种介质的电导率。证：（1）由于边界上，由边值关系知由矢量运算的几何定义知因此有。（2）由恒定电流条件，可知。由欧姆定律，得：又由边值关系可得由此得第二章静电场习题例题2、真空中有一半径为的接地导体球，距球心为处有一点电荷Q，求空间各点电势。解：解题关键是利用对称性和边界条件，设立假想电荷，使假想电荷同自由电荷形成的场符合边界条件，这

5、样由唯一性定理知该解是物理解。由对称性知假想电荷应在OQ连线上，且使球面上电势为零。设距球心O的距离为b，且该点到球面上P点的距离为，P到Q的距离为r。为使球面电势为零，须有：因为此式对球面任意点成立，因此有：为使此式得到满足，要求∽，即：两三角形相似的条件是，即。由此解得：这样就确定了假想电荷的位置和大小。球外电势由Q和形成：例3、上题中，若导体球不接地，而是带电荷，求球外电势和Q受的力。解：本题边界条件包括（1）球面为等势面（因是导体球）；（2）球面发出的电场强度总通量为。解题思路放在求等势面和总通量上。先设一假想电荷使球面电势为零。然后再于球心放一电荷使总通量为，这样不会改变球

6、面为等势面。由对称性知假想电荷应在OQ连线上。设距球心O的距离为b，且该点到球面上P点的距离为，P到Q的距离为r。为使球面电势为零，须有：因为此式对球面任意点成立，因此有：为使此式得到满足，要求∽，即：两三角形相似的条件是，即。由此解得：这样就确定了假想电荷的位置和大小。于球心再放一电荷，其电量为这样球面总通量为，球面为等势面。这样条件（1）（2）均满足。球外电势为：点电荷Q的受力为：一个半径为R的电介质球，极化强度为，电容率为。（1）计算束缚电荷的体密度和面密度；（2）计算自由电荷体密度；（3）计算球外和球内的电势；（4）求该带电体系产生的静电场和总能量。解：（1）由电极化强度矢量

7、的定义及束缚电荷的产生（郭硕鸿第三版18-20页）知：由电极化强度矢量的边值关系知：这里是由介质1指向介质2的法向。由于球外电极化强度矢量为零，即，所以有：（2）由电位移矢量的定义知：由麦克斯韦方程组知：（3）由于体系的球对称性，可由高斯定理计算电场并得到电势分布：下面计算Q因此得：同理可得球内电场为：电势为：3、均匀介质求中心置一点电荷Q，球的电容率为，球外为真空，试用分离变量法和高斯发求解（球队半径为a）。解：高斯法。由体系对称性知电场方向沿径向。由高