电动力学讲义.doc

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1、电动力学讲义铜仁学院物理与电子科学系绪论第0章电动力学数学基础预备知识—矢量场论复习教学目的：掌握梯度、散度、旋度三个重要概念，理解在不同坐标系中不同的表达形式，了解他们之间的关系；掌握高斯定理和斯托克斯定理，能够熟练进行二阶微分运算和算符运算。重点难点：梯度、散度、旋度三个重要概念；高斯定理、斯托克斯定理和格林公式；二阶微分运算和算符运算。一、场的概念描述一定空间中连续分布的物质对象的物理量。或说：若在一定空间中的每一点，都对应着某个物理量的确定值，就说在这空间中确定了该物理的场。如：强度场、速度场、引力场、电磁场。（场是用空间位置函数来表征的。在物理学中，经常要研

2、究某种物理量在空间的分布和变化规律。如果物理量是标量，并且空间每一点都对应着该物理量的一个确定数值，则称此空间为标量场。如：电势场、温度场等。如果物理量是矢量，且空间每一点都存在着它的大小和方向，则称此空间为矢量场。如：电场、速度场等。若场中各点物理量不随时间变化，称为稳定场，否则，称为不稳定场。）场用一个空间和时间坐标的函数来描述：1、稳恒场（稳定场、静场）：场与时间无关2、变化场（时变场）：场函数与时间有关3、已知场函数的梯度、散度、旋度可以确定场函数，这是电动力学求解电磁场的主要方法。4、已知场函数可以了解场的各种性质：随时空的变化关系（梯、散度、旋度）。二、标

3、量场的梯度1、方向导数方向导数是标量函数在空间一点沿任意方向169相对距离的变化率，它的数值与所取的方向有关。一般来说，在不同的方向上的值是不同的，但它并不是矢量。如图所示，为场中的任意方向，P1是这个方向线上给定的一点，P2为同一线上邻近的一点。为p2和p1之间的距离，从p1沿到p2的增量为若下列极限P1P2存在，则该极限值记作，称之为标量场在p1处沿的方向导数。2、梯度在某点沿某一确定方向取得在该点的最大方向导数。在空间任意靠近两点函数的全微分在空间某点的任意方向上，方向导数有无穷多个，其中有一个值最大，这个方向导数的最大值定义为梯度。梯度的意义：空间某点标量场函

4、数的最大变化率，刻画了标量场的空间分布特征，已知梯度即可求出沿任一方向的方向导数。等值面常数的曲面称为等值面。梯度与等值面的关系：梯度与等值面垂直。169三、矢量微分算子（既有矢量性质，又有微分性质）注意：它可以作用在矢量上，可以作点乘，叉乘。多个，其中有一个值最大，这个方向导数的最大值定义为梯度：在空间某点的任意方向上，导数有无穷多个，1例1、解解例2、解：其中有一个值最大，这个方向导数的最大值定义为梯度：四、高斯定理与矢量场的散度1、矢量族：在矢量场中对于给定的一点，有一个方向，它沿某一曲线的切线方向，这条曲线形成一条矢量线，又叫场线（对静电场称为电力线），无穷多

5、条这样的曲线构成一个矢量族。2、矢量场的通量：面元的通量：有限面积的通量：闭合曲面的通量：169有源无源负源意义：用来描述空间某一范围内场的发散或会聚，它只具有局域性质，不能反映空间一点的情况。3、高斯公式该点有源该点无源该点为负源4、矢量场的散度缩小到一点若在各点出则称为无源场。解：例：2、在空间某点的任意方向上，导数、证明：有无穷多个，其中有一个值最大，这个方向导五、斯托克斯公式与矢量场的旋度1、矢量场的环量（环流）矢量沿任一闭合曲线的积分称为环量169表明区域内无涡旋状态，场线不闭合表明区域内存在涡旋状态，场线闭合2、斯托克斯公式（定理）矢量沿任一闭合曲线的积分

6、称为环量3、矢量场的旋度当无限小：矢量沿任一闭合曲线的积分定义：为矢量场的旋度，它在法线方向上的分量为单位面积上的环量，刻画矢量场场线在空间某点上的环流特征。若·空间各点，则称为无旋场。讨论：（1）（不变量）（2）必然代表某一物理量（3）从微分的结合方式，说明旋度是在垂直于矢量分量方向上的变化率（4）有旋场，无旋场。（，决定了）的空间变化率。例1、：证明：证明定义为矢量场的旋度，它在同理例2、证明：169证：称为环量六、二阶微分算符格林定理1、一阶微分运算a)设为源点与场之间的距离，r的方向规定为由源点指向场点，试分别对场点和源点求标量场r的梯度。b)设u是空间坐标x

7、,y,z的函数，证明证：这是求复合函数的导数（梯度），按复合函数微分法则，有169c)设求?d)设u是空间坐标x,y,z的函数，证明.e)设u是空间坐标x,y,z的函数，证明2、二阶微分运算169将算符作用于梯度、散度和旋度，则称为二阶微分运算，设为标量场，,为矢量场。并假设的分量具有所需要的二阶的连续微商，则不难得到：（1）标量场的梯度必为无旋场（2）矢量场的旋度必为无散场（3）无旋场可表示一个标量场的梯度（4）无散场可表示一个矢量场的旋度（5）标量场的梯度的散度为（6）矢量场的旋度的旋度为3、运算子乘积（1）169(2)(3)(4)169(5)(