数理经济学第5章课后题答案.doc

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1、第五章习题答案1．求下面等式约束最优化问题可能的极值点，要求写出一阶必要条件并求解由一阶必要条件构成的方程组。（1），（2）（3）解：（1）首先写出拉格朗日函数：将对，和分别求偏导数可得：解得，，此时。则点为目标函数的驻点，且在该点处约束条件满足约束规格。（2）首先写出拉格朗日函数：将对，和分别求偏导数可得：解得，，此时；或者，，此时；或者，，此时；或者，，此时。则点、、和为目标函数的驻点，且在这些点处约束条件满足约束规格。（3）首先写出拉格朗日函数：将对，，和分别求偏导数可得：解得，此时；或者

2、，，此时。则点和点为目标函数的驻点，且在这两点处约束条件满足约束规格。2．利用等式约束极值问题的二阶充分条件判断习题1中求得的点是否为极大值点或极小值点。解：（1）对，求偏导数可得，，加边元素，。所以，海赛加边行列式为：所以，由定理5.2得，在处函数取得极大值。（2）对，求偏导数可得，，加边元素，。所以，海赛加边行列式为：当，时，所以，由定理5.2得，在处函数取得极大值。当，时，所以，由定理5.2得，在处函数取得极小值。当，时，所以，由定理5.2得，在处函数取得极大值。当，时，所以，由定理5.2

3、得，在处函数取得极小值。（3）对，求偏导数可得，，加边元素，，，。所以，海赛加边行列式为：当时，当，时，所以，由定理5.2得，在或者处函数取得极大值。3．求函数在约束和下的可能的极值点。解：首先写出拉格朗日函数：将对，，和分别求偏导数可得：解得该方程无实解，存在虚数解：，，此时。4．利用海赛加边行列式确定下面每一小题的值是极大值还是极小值。（1）满足约束；（2）满足约束；（3）满足约束；（4）满足约束。解：（1）首先写出拉格朗日函数：将对，和分别求偏导数可得：解得，对，求偏导数可得，，加边元素，

4、。所以，海赛加边行列式为：所以，由定理5.2得，为目标函数的极大值。（2）首先写出拉格朗日函数：将对，和分别求偏导数可得：解得，对，求偏导数可得，，加边元素。所以，海赛加边行列式为：所以，由定理5.2得，为目标函数的极大值。（3）首先写出拉格朗日函数：将对，和分别求偏导数可得：解得，对，求偏导数可得，，加边元素。所以，海赛加边行列式为：所以，由定理5.2得，为目标函数的极小值。（4）首先写出拉格朗日函数：将对，和分别求偏导数可得：解得，对，求偏导数可得，，加边元素。所以，海赛加边行列式为：所以，

5、由定理5.2得，为目标函数的极小值。5．求原点到椭圆的最大和最小距离（提示：目标函数取为可简化运算。解：由题意知，解决如下最优化问题，首先写出拉格朗日函数：将对，和分别求偏导数可得：解得或者，则为最小距离，为最大距离。6．绘出有如下特征的曲线（1）拟凹的，（2）拟凸的，（3）既拟凹又拟凸的解：（1）拟凹（2）拟凸0zx(3)既拟凹又拟凸7．运用海赛加边行列式检验下列函数的拟凹性和拟凸性：（1）（2）解：（1），，所以，由定理5.7得，该函数为拟凹函数。（2），，所以，由定理5.7得，该函数为拟凹

6、函数。8．判断下列命题的正误，并给予说明。（1）设是单变量递增函数，则为拟凹函数。（2）设是单变量递减函数，则为拟凹函数。（3）设是单变量函数，存在一个实数使得在区间上递减，在区间上递增时，为拟凹函数。解：（1）命题正确，对于一元递增函数定义域（凸集）中任意点，有，则：对任意，有；则为拟凹的。（2）命题错误，对于一元递减函数定义域（凸集）中任意点，有，则：对任意，有；则为拟凸的。（3）命题错误，用反证法证明，假设命题成立，则在区间上与该题（2）相同，则该函数为拟凸函数，与命题结论矛盾，故命题错误

7、。9．已知极大化问题的均衡解为。试估计以下目标函数的最优值，并说明理由。（1），（2）（3）解：根据（1）、（2）、（3）小问中目标函数与约束条件变动项构造拉格朗日函数：，将代入极大化问题，在约束条件下目标函数的极大值点为，乘子为。从而有。根据包络定理，，则，，（1）当等式约束改为时，目标函数最优值改变分量为：极大化问题的目标函数最优值分别是。（2）当目标函数改为，等式约束改为时，目标函数最优值改变分量为：极大化问题的目标函数最优值是。（3）当目标函数改为，等式约束改为时，目标函数最优值改变分量

8、为：极大化问题的目标函数最优值是。10．一个消费者具有效用函数：，其中和是两种商品的数量，它们的价格分别是和。消费者的预算约束是，因此消费者的拉格朗日函数是（1）从一阶条件中找出需求函数的表达式。说明商品是哪种商品？尤其当的时候，会出现哪种情况？（2）通过检查二阶充分条件来证明这是一个极大值。把和代入到效用函数中，找出间接效用函数的表达式：，并推导出支出函数的表达式：。（3）求出这个最小化问题的和的解，并证明和的解值等于支出函数的偏导数和。解：（1）根据拉格朗日函数得出一阶必要条件为：求解得出其