数理经济学_茹少峰_第4章课后题及答案

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1、第四章习题答案1.求下列函数的极值。（1）（2）（3）（4）解：（1）根据二元函数极值的必要条件，可得，解得，为可能的极值点。根据充分条件，函数的二阶导师组成的Hessian矩阵为，因此为的严格极小值点，极值为。（2）根据一元函数极值的必要条件，可得因此该函数在其定义域内为单调递增函数，极值不存在。（3）根据一元函数极值的必要条件，可得求得极值点为。由充分条件知。当时，所以该函数极值不存在。（4）根据一元函数极值的必要条件，可得求的极值点为。由充分条件知。当时，，因此该函数存在极大值为。2.讨论函数的极值。解：根据二元函数极值的必要条件，可得

2、为可能的极值点。根据充分条件，函数的二阶导师组成的Hessian矩阵为时，，因此函数在该点无极值；时，，海赛矩阵为正定矩阵，因此函数在该点有严格极小值为；时，，海赛矩阵为正定矩阵，因此函数在该点有严格极小值为；时，，，则海赛矩阵为负定矩阵，因此函数在该点有严格极大值为；时，，，则海赛矩阵为负定矩阵，因此函数在该点有严格极大值为3.试说明对于任意的，生产函数是凹函数。证明：,,所以函数的Hessian矩阵为因为，所以;且,Hessian是负定的，因此生产函数是严格凹函数。4.考虑生产函数。如果，试说明该生产函数对于和的任意取值都是严格凹函数。如

3、果，该函数是什么形状？证明：（1）同上，可求得函数的Hessian矩阵为Hessian是负定的，该函数对于K、L任意取值都是严格凹函数。5.某完全竞争厂商由单一可变投入（劳动），每期工资率为。若该厂商每期的固定成本为，产品的价格为，要求：（1）写出厂商的生产函数、收益函数、成本函数和利润函数；（2）何为利润最大化的一阶条件？解释此条件的经济意义；（3）什么样的经济环境才能保证利润最大化而不是最小？解:（1）生产函数为：收益函数为：成本函数为：利润函数为：（2）利润最大化的一阶条件为：，即。该条件的经济含义为：在利润最大化时，单个要素的边际产量

4、等于要素单位成本与产品价格的比值。（3）要满足利润最大化而不是最小，则要满足利润最大化的二阶充分条件：因为，所以，也就是说，在边际产出递减规律的经济条件下才能实现利润最大化.6.某厂商有如下的总成本函数与总需求函数：.请回答下列问题：（1）确定总收益函数与总利润函数。（2）确定利润最大化的产出水平及最大利润。解：（1）(2)利润最大化的一阶必要条件为：解得，。利润最大化的二阶充分条件为：，当时，，函数取得极小值为-55.33；当时，，函数取得极大值为111.33；所以，在产出水平为11时，利润最大为111.33。7.设有二次利润函数试确定系数

5、所满足的约束，使下列命题成立：（1）证明若什么也不生产，由于固定成本的关系，利润将为负；（2）证明利润函数为严格凹函数；（3）求在正的产出水平下的最大化利润。解：（1）由题可知，当时，。由于固定成本存在的关系，利润为负，因此系数必须满足的条件为。（2）因为利润函数为严格凹函数，其一阶必要条件为，求得；二阶充分条件为。函数为严格凹函数满足的充要条件：，即,因此，。(3)在正的产出水平下，，因此。8.假设有一个垄断市场环境下的两产品厂商，产品的价格分别为和，产品的需求函数及成本函数为：，，，求利润最大化的价格水平。解：利润函数利润最大化的一阶必要

6、条件为：,解得，又所以，在利润最大化是价格水平为9.假设有一个完全竞争条件下的两产品厂商，产品的价格分别为和，单位时间内产品的产出水平为，厂商成本函数为，求：（1）利润最大化的产出水平；（2）若总成本函数为，两产品的生产是否存在技术相关性，与的新最优水平是多少？（3）对参变量和进行比较静态分析。解:（1）,可得（2），，可得，,而,即在最优产量下，不存在技术相关性。（3）由（1）问中的最优产量,,,即，产品1价格上升1单位，产量上升，价格下降；产品1价格上升1单位，产量下降，价格下降；10.一个公司有严格凹的生产函数。给定产品价格，资本的利用

7、率，工资。要求：（1）对利润达到最大化的投入要素与进行比较静态分析，并作简要的分析说明；（2）假定生产函数是规模报酬递减的Coob-Douglas函数，做同样的比较静态分析。解：（1）利润最大化时，最优解为，为最优值函数。变化对最大利润的影响为：利润最大化时有,则，即当资本利用率或工资提高时，利润率随之下降，当产品价格上涨时，最大利润率随之上升。（2）利润最大化时，最优解为，为最优值函数。，,11.考虑参数为的极大化问题函数：（1）利用包络定理求函数的最大值关于参数的导数；（2）分析参数对目标函数的最大值的影响。解：（1）假设最优解为，（2）

8、一阶条件为，即所以，参数a与木匾函数的最大值同向变动。12.考虑参数最优化问题（为参数）：（1）求目标函数的极大值关于参数的导数；（2）分析参数对目标函数的极大值的