常微分方程常微分方程

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常微分方程常微分方程主讲胡平刘慧敏王胜军青海师范大学数学与信息科学系 常常微微分方程课程分方程课程简介简介常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程，如牛顿运动定律、万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票的涨伏趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化等，对这些规律的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分方程描述的数学模型的研究。因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学的各个领域。 学习《常微分方程》的目的是用微积分的思想，结合线性代数，解析几何等的知识，来解决数学理论本身和其它学科中出现的若干最重要也是最基本的微分方程问题，使学生学会和掌握常微分方程的基础理论和方法，为学习其它数学理论，如数理方程、微分几何、泛函分析等后续课程打下基础；同时，通过这门课本身的学习和训练，使学生学习数学建模的一些基本方法，初步了解当今自然科学和社会科学中的一些非线性问题，为他们将来从事相关领域的科学研究工作培养兴趣，做好准备。 指定教材指定教材及及参考文献参考文献n教材：《常微分方程》（第二版）东北师范大学微分方程教研室编高教出版社2005年n参考书：1.王柔怀、伍卓群，《常微分方程讲义》，人民教育出版社2.丁同仁、李承治，《常微分方程教程》，高等教育出版社3.王高雄,周之铭《常微分方程》高等教育出版社4.叶彦谦《常微分方程》人民教育出版社5.钱祥征《常微分方程解题方法》人民教育出版社 主要内容主要内容第一章初等积方法第二章基本定理第三章线性微分方程组第四章线性微分方程第五章定性与稳定性概念 知识模块知识模块顺顺序和对应序和对应学时学时1.初等积分法:5类典型方程的解法；一阶隐方程的解法；几类可降阶的高阶方程的解法；一阶方程的应用。18学时2.基本定理：初值问题的解的存在唯一性；解的延展；解对初值与参数的连续性与可微性；奇解与包络。12学时3.线性微分方程组：通解的结构；常系数线性方程(组)的解法；常数变易法；首次积分。16学时4.高阶线性微分方程：通解的结构；常系数线性方程的解法；特征根法；待定系数法、拉氏变换法；幂级数解法。14学时5.定性与稳定性理论初步：解的稳定性；定性理论的基本概念；平面动力系统。12学时 第一章第一章初初等积分法等积分法11..11微微分方分方程和程和解解什么是微分方程？它是怎样产生的？本节介绍基本概念300多年前，由牛顿(Newton,1642-1727)和莱布尼兹(Leibniz,1646-1716)所创立的微积分学，是人类科学史上划时代的重大发现，而微积分的产生和发展，又与求解微分方程问题密切相关.这是因为，微积分产生的一个重要动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求.一般地，运动规律很难全靠实验观测认识清楚，因为人们不太可能观察到运动的全过程.然而，运动物体(变量)与它的瞬时变化率(导数)之间，通常在运动过程中按照某种己知定律存在着联系，我们容易捕捉到这种联系，而这种联系，用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程.一旦求出这个方程的解，其运动规律将一目了然.下面的例子，将会使你看到微分方程是表达自然规律的一种最为自然的数学语言. v(0)=vv(0)=0v0※※微分方程微分方程模型模型n例1物体下落问题设质量为m的物体，在时间t=0时，在距地面高度为H处以初始速度v(0)=v0垂直地面下落，求此物体下落时距离与时间的关系.n解：如图1-1建立坐标系，设为t时刻物体的位置坐标是x.于是物体下落的速度为v=v(t)加速度为所求x=x(t)还满足:x(0)=H,v(0)=v0 质质量为量为mm的的物物体，体，在在下下落落的的任任一时一时刻所刻所受到受到的的外外力有力有重重力力mgmg和空和空气阻气阻力力，当，当速度速度不不太太大大时时，空，空气阻气阻力可力可取取为与为与速度速度成成正比正比..于于是是根根据据牛顿牛顿第二第二定律定律FF==mmaa((力力==质质量量××加速度加速度))可以可以列列出出方程方程（1.1）其其中中kk＞＞00为为阻阻尼尼系数，系数，gg是是重重力力加加速度速度..((11..1)1)式式就就是是一一个个微分微分方方程，程，这这里里tt是是自变自变量，量，xx是是未未知知函函数数..现现在在，，我我们们还还不不会会求求解解方程方程((11..1)1)，，但但是，是，如如果果考考虑虑kk=0=0的的情情形形，，即即自自由落由落体体运动，运动，此此时时方程方程((11..1)1)可可化为化为 ((11..2)2)将上式对将上式对tt积分积分两两次得次得（1.3）将x(0)=H,v(0)=x&(0)=v代入上式可得0c=v,c=H，代回（1.3）得到所求的函数10212x=H-gt+vt02 例例22镭镭的的衰衰变变规律规律::设镭的衰变规律与该时刻现有的量成正比,且已知tR=0时,,镭元素的量为克试确定在0任意t时该时镭元素的量. 解:设t时刻时镭元素的量为Rt(),dR(t)由于镭元素的衰变律就是R(t)对时间的变化律,dt依题目中给出镭元素的衰变律可得:dRì=-kR,ídtîR(0)=R0这里k>0,是由于R(t)随时间的增加而减少.解之得:-ktR(t)=Re0即镭元素的存量是指数规律衰减的. ※基本概念 一、常微分方程与偏微分方程定义1:联系自变量、未知函数及未知函数导数（或微分）的关系式称为微分方程.例1：下列关系式都是微分方程dy(1)=2x;(2)xdy-ydx=0;dx23d4xd2x(3)dx+txæçdxö÷+x=0;(4)+5+3x=sint;42dt2èdtødtdt22¶z¶z¶u¶u(5)+=z;(6)++x+y-uz=0.22¶x¶y¶x¶y 1.常微分方程如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，则这样的微分方程称为常微分方程.dy如(1)=2x;(2)xdy-ydx=0;dx23dxædxö(3)+txç÷+x=0;2dtèdtø42dxdx(4)+5+3x=sint;42dtdt都是常微分方程 2.偏微分方程如果在一个微分方程中,自变量的个数为两个或两个以上,称为偏微分方程.¶z¶z如(5)+=z;¶x¶y22¶u¶u(6)++x+y-uz=0.22¶x¶y都是偏微分方程.注:本课程主要研究常微分方程.同时把常微分方程简称为微分方程或方程. 二、微分方程的阶定义2：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或微分的阶数称为微分方程的阶数.dy如:(1)=2x(2)xdy-ydx=0dx是一阶微分方程；23dxædxö(3)+txç÷+x=0是二阶微分方程；2dtèdtø42dxdx(4)+5+3x=sint是四阶微分方程.42dtdt n阶微分方程的一般隐式形式为ndydyF(x,y,,L,)=0(1)ndxdxnndydydydy这里F(x,y,,L,)=0是x,y,,L,的已知函数,nndxdxdxdxndy而且一定含有,y是未知函数,x是自变量.ndx(n)或写成F(x,y,y¢,L,y)=0(n)(n-1)显式形式为y=f(x,y,y¢,Ly) 三微分方程的解定义4如果函数y=j(x),xÎI,满足条件:(1)y=j(x)在I上有直到n阶的连续导数;'n(2)对"xÎI有:F(x,j(x),j(x),Lj(x))º0,ndydy则称y=j(x)为方程F(x,y,,L,)=0ndxdx在I上的一个解. 例2验证y=sinx,y=cosx都是微分方程"y+y=0在(-¥,+¥)上的一个解.证明:对y=sinx,由于'"y=cosx,y=-sinx故对"xÎ(-¥,+¥),有"y+y=-sinx+sinx=0"故y=sinx是微分方程y+y=0在(-¥,+¥)上的一个解."同理y=cosx是微分方程y+y=0在(-¥,+¥)上的一个解. 1显式解与隐式解如果关系式Y(x,y)=0所确定的隐函数y=j(x),xÎI为方程ndydyF(x,y,,L,)=0ndxdx的解,则称Y(x,y)=0是方程的一个隐式解.相应定义4所定义的解为方程的一个显式解.注:显式解与隐式解统称为微分方程的解. dyx例如对一阶微分方程=-dxy有显式解:22y=1-x和yx=--1.和隐式解:22x+y=1. 2通解与特解定义5如果微分方程的解中含有任意常数,且所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则称这样的解为该方程的通解(通积分）.例如:y=c1sinx+c2cosx,c1,c2为任常数"是微分方程y+y=0的通解.n阶微分方程通解的一般形式为y=j(x,c,L,c)1n其中c,L,c为相互独立的任常数.1n 注1:称函数y=j(x,c,L,c)含有n个独立常数,是指1n存在(x,c,L,c)的某一邻域,使得行列式1n¶j¶j¶jL¶c¶c¶c12n''''(n-1)¶j¶j¶j¶(j,j,L,j)L=¶c¶c¶c¹0¶(c,c,L,c)12n12nLLLL(n-1)(n-1)(n-1)¶j¶j¶jL¶c¶c¶c12nk(k)dj其中j表示.kdx x-x2x例3验证y=ce+ce+ce+3是微分方程123'""'y-2y-y+2y=6的通解.'x-x2x证明:由于y=ce-ce+2ce123''x-x2xy=ce+ce+4ce,123'''x-x2xy=ce-ce+8ce123'""'故y-2y-y+2y=x-x2x-2(cex+ce-x+4ce2x)(c1e-c2e+8c3e)123x-x2xx-x2x-(ce-ce+2ce)+2(ce+ce+ce+3)123123x+(-c-2c+c+2c)e-x=(c1-2c1-c1+2c1)e22222x+(8c-8c-2c+2c)e3333+6=6 x-x2x故y=ce+ce+ce+3是123'""'微分方程y-2y-y+2y=6的解.又由于¶j¶j¶j¶c1¶c2¶c3x-xx2eee'''¶j¶j¶j=ex-e-x26ee22xx=-¹0¶c¶c¶c123x-xx2''''''eee4¶j¶j¶j¶c¶c¶c133x-x2x故y=ce+ce+ce+3是微分方程123'""'y-2y-y+2y=6的通解. 定义6在通解中给任意常数以确定的值而得到的解称为方程的特解（特积分）."例如y=sinx,y=cosx都是方程y+y=0的特解.可在通解y=csinx+ccosx中分别取12c=1,c=0,得到:y=sinx,12c=0,c=1,得到:y=cosx.12 3初值问题为了从通解中得到合乎要求的特解,必须根据实际问题给微分方程附加一定的条件,称为定解条件.求满足定解条件的求解问题称为定解问题.常见的定解条件是初始条件,n阶微分方程的初始条件是指如下的n个条件:(n-1)dy(1)dy(n-1)当x=x时,y=y,=y,L,=y000n-10dxdx(1)(n-1)这里x,y,y,L,y是给定的n+1个常数.0000当定解条件是初始条件时,相应的定解问题称为初值问题. 注1:n阶微分方程的初始条件有时也可写为(n-1)dy(x0)(1)dy(x0)(n-1)y(x)=y,=y,L,=y000n-10dxdxndydy注2:求n阶微分方程:F(x,y,,L,)=0,满足条件ndxdx(n-1)dy(x0)(1)dy(x0)(n-1)y(x)=y,=y,L,=y000n-10dxdx的解的初值问题也称Cauchy问题,通常记为ndydyF(x,y,,L,)=0ìdxdxní(n-1)îdy(x0)(1)dy(x0)(n-1)y(x)=y,=y,L,=y000n-10dxdx -x-4x"'例4验证y=ce+ce是方程y+5y+4y=012'的通解,并求满足初始条件y(0)=2,y(0)=1的特解."'解由于y+5y+4y-x-4x"+5(ce-x+ce-4x)'+4(ce-x+ce-4x)=(c1e+c2e)1212-x-4x-x-4x+4(ce-x+ce-4x)=(c1e+16c2e)-5(c1e+4c2e)12=0¶j¶j-x-4x且¶c¶cee12=¹0''-x-4x¶j¶j-e-4e¶c¶c12 -x-4x"'故y=ce+ce是方程y+5y+4y=0的通解.12'由初始条件y(0)=2,y(0)=1有c+c=2ì12íî-c-4c=112解以上方程组得c1=3,c2=-1"'故方程y+5y+4y=0满足初始条件'y(0)=2,y(0)=1的特解为-x-4xy=3e-e 四积分曲线dy一阶微分方程=f(x,y)dx的解y=j(x)所表示xy平面上的一条曲线,称为微分方程的积分曲线.而其通解y=j(x,c)对应xy平面上的一族曲线,称这族曲线为积分曲线族. 本节要点：本节要点：11．．常常微微分分程的定程的定义义，方，方程的程的阶阶，，隐隐式式方方程，程，显式显式方程。方程。22．．常常微微分分方程方程解解的定的定义义，，通通解解，，特特解解，，通通积积分，分，特特积积分。分。33．．初值初值问题问题及及初值初值问题解问题解的的求求法。法。44．．解解的的几何几何意意义义，，积积分分曲曲线线。。 习题习题PP8811..2.2.