第三节定积分的换元积分法与分部积分法ppt课件.ppt

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1、复习1.定积分定义:4.微积分基本公式2.变上限定积分函数3.变上限积分函数的导数1第三节定积分的换元积分法与分部积分法内容提要1.定积分的换元积分法；2.定积分的分部积分法;3.定积分的几个常用公式。教学要求1.熟练掌握定积分的换元积分和分部积分法;2.掌握定积分的几个常用公式2一.定积分的换元法第一类换元积分法注意：这里没有引进新的积分变量，因而积分上、下限没有变化。这种换元法对应着不定积分的凑微分法设被积函数3解例14例2解例3求解5例4求解利用定积分性质3，得6第二类换元积分法证明注意:(1)在定积分的第二类换元积分法中引了新的积分变量,因而积分上、下限发生了

2、变化.7（2）换元必换限.(原)上限对(新)上限,(原)下限对(新)下限.（3）(4)该公式的作用是可以简化计算.改变口诀是:8例5求解，则当时，当时，设9求，则当时，，当时，于是设例6解10例7求解设,则当时,当时，于是11例8设,求解设则,当时，当时，于是12定积分的分部积分公式推导主要作用：1.简化定积分的计算.2.证明一些等式.二.定积分的分部积分法设函数u(x)、v(x)在区间[a,b]上具有连续导数，则有13例9求解14例10求解15例11求解16即a-axy0oxy-aa1.三.定积分的几个常用公式17证证毕x-a0ta018利用奇偶函数在对称区间的积分

3、的特性,积分计算可能简化,甚至不经过计算即可得出结果.例如:例12计算解奇函数偶函数19设f(x)是以T为周期的周期函数，且可积，则对任一实数a，有证由定积分性质3，有对右边第三个积分，令，则时，，当当时，并注意到，得于是2.20例13求解函数f(x)=sin2x是以π为周期的周期函数，故213.(2)求其中n为正整数；的值.证（1）设x0t0(1)证明:在区间上的积分22解（2）当n=0时,当n=1时,当n≥2时,23积分关于下标的递推公式直到下标减到0或1为止24于是例如n为正偶数n为大于1的正奇数(n为偶数)(n为奇数)25例15求解令，则，当时，当时，于是例1

4、4求261.定积分的换元法小结2.定积分的分部积分公式（注意与不定积分分部积分法的区别）主要作用：1.简化定积分的计算.2.证明一些等式.27公式:作业:P1371的奇数号题,2的奇数号题,33.定积分的几个等式28思考题解答思考题29解130解2313解324计算解该题说明有时需综合运用各种方法.如先换元再分部,分部与换元都可多次应用.x01t033利用奇偶函数在对称区间的积分的特性,积分计算可能简化,甚至不经过计算即可得出结果.例如:奇函数5计算解原式偶函数单位圆的面积34证6证明证毕35