有限元方法课件第五章等参单元和高阶单元.ppt

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1、第五章矩形单元和等参单元§5–1矩形单元§5–2等参单元第五章矩形单元和等参单元有限元分析的主要步骤(位移元)1.连续介质离散化：形成有限元网格，并完成单元及结点编号5.引入位移强制边界条件：消除总刚度矩阵的奇异性6.解线性代数方程组：得到结点位移7.计算应力、应变：由结点位移计算单元的应力、应变8.其它要求：进行其他工程上的要求计算2.确定单元的近似位移模式：得到以结点位移为未知量的位移函数3.单元特性分析：建立单刚和等效结点荷载列阵4.集成总体刚度方程：形成总刚和总结点荷载列阵回顾：平面问题有限元方法小结矩形单元也是一种常

2、用的单元，它采用了比常应变三角形单元次数更高的位移模式，因而可以更好地反映弹性体中的位移状态和应力状态。矩形单元1234如图5-1所示，其边长分别为2a和2b，两边分别平行于x、y轴。若取该矩形的四个角点为节点，因每个节点位移有两个分量，所以矩形单元共有8个自由度。采用与上一章的方法，同样可以完成对这种单元的力学特性分析。然而，如果我们引入一个局部坐标系、，那么就可以推出比较简洁的结果。图5-1矩形单元1234§5-1矩形单元在图5-1中，取矩形单元的形心为局部坐标系的原点，和轴分别与整体坐标轴x和y平行，两坐标系存在

3、有以下的坐标变换关系(5-1)式中其中(xi,yi）是节点i的整体坐标，i=1,2,3,4。在局部坐标系中，节点i的坐标是(i,i)，其值分别为±1。取位移模式将节点的局部坐标值代入上式，可列出四个节点处的位移分量，即两组四元联立方程，由此可求得位移模式中的8个未知参数1，2，…，8，再把这些参数代回(a)式中，便可得到用节点位移表示的位移模式(a)(b)其中(c)式中0=i，0=i，i=1,2,3,4。若写成与前面一致的形式，有式中(d)由几何方程可以求得单元的应变(e)(f)将(b)式代入，得(g)式

4、中(i=1,2,3,4)(5-2)由虎克定律我们可以得出用节点位移表示的单元应力，即(5-3)其元素是坐标的线性函数，说明应变在单元内是线性变化的。式中(i=1,2,3,4)(h)对于平面应力问题(5-4)若将单元刚度矩阵写成分块形式(5-5)正应力的主项是的线性函数，而次要项按线性变化。则其中的子矩阵可按下式进行计算(i)如果单元厚度t是常量，则(i,j=1,2,3,4)(5-6)同样，对于平面应变问题，只要将上式中的E、分别换成E/1-2和/1-即可。四边形单元的节点位移与单元节点力之间的关系仍为(j)其中载荷列阵

5、{R}e与上节中的(c)式相同，仍可按三角形单元一章的方法计算等效节点力。但是，需要注意的是，矩形单元有四个节点（1，2，3，4），所以{R}e具有8个元素，即(5-7)⑵如果单元在一个边界上受有三角形分布的表面力，且在该边界上的一个节点处为零，而另一个节点处为最大，那么可将总表面力的三分之一移置到前一个节点上，而将其三分之二移置到后一个节点上。和常应变三角形单元一样，将各单元的{k}、{}e和{R}e都扩充到整个弹性体自由度的维数，再进行叠加，即可得到整个弹性体的平衡方程。即[K]{}={R}(l)两种常见载荷的等效⑴对

6、于单元的自重W，移置于每个节点的载荷都等于四分之一的自重，其载荷列阵为(k)由前面的讨论可以发现，四边形单元的位移模式(a)比常应变三角形单元所采用的线性位移模式增添了项（即相当于xy项），我们把这种位移模式称为双线性模式。在这种模式下，单元内的应变分量将不再是常量，这一点可以从[B]的表达式中看出。另外，位移模式(a)中的1、2、3、5、6、7与三角形单元相同，它反映了刚体位移和常应变，而且在单元的边界上(=±1或=±1)，位移是按线性变化的，显然，在两个相邻单元的公共边界上，其位移是连续的。矩形单元的应

7、变由单元的应力矩阵表达式还可以看出，矩形单元中的应力分量也都不是常量。其中，正应力分量x的主要项（即不与相乘的项）沿y方向线性变化，而正应力分量y的主要项则是沿x方向线性变化、剪应力分量xy沿x及y两个方向都是线性变化。正因为如此，若在弹性体中采用相同数目的节点时，矩形单元的精度要比常应变三角形单元的精度高。但是，矩形单元也有一些明显的缺点：其一是矩形单元不能适应斜交的边界和曲线边界；其二是不便于对不同部位采用不同大小的单元，以便提高有限元分析计算的效率和精度。矩形单元的应力在平面问题和轴对称问题的有限元分析中，曾采用

8、了线性位移模式的常应变三角形单元进行计算。这种单元的最大优点是：它能够机动灵活近似地表现结构的复杂边界形状；单元网格划分时，能粗细变化比较自如，因而得到广泛应用。缺点是：由于它的位移采用线性插值函数，计算精度比较低；对结构的曲线边界只能用许多小直线段逐渐逼近。特别是，在结构的