导数概念及应用.doc

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1、3.1导数的概念及其运算知识精要1．导数与导函数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是＝，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′

2、x＝x0，即f′(x0)＝＝.(2)如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区间内的导函数．记作f′(x)或y′.2．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)．3．基本初等函数的导数公式基本初

3、等函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin_xf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝ax(a>0，a≠1)f′(x)＝axln_af(x)＝lnxf′(x)＝f(x)＝logax(a>0，a≠1)f′(x)＝4.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)[]′＝(g(x)≠0)．5

4、．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．(　×　)(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)．(　×　)(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(　√　)(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　×　)(5)函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cosx．(　×　)基础自

5、测1.如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是(　　)2．有一机器人的运动方程为s＝t2＋(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t＝2时的瞬时速度为(　　)A.B.C.D.3．曲线y＝e－2x＋1在点(0，2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为(　　)A.B.C.D．1　4．设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝f′()sinx＋cosx，则f′()＝________.5．(2015·陕西)设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x＞0)上点P处的切线垂直，则P的

6、坐标为________．题型一　导数的运算例1　求下列函数的导数：(1)y＝(3x2－4x)(2x＋1)；(2)y＝x2sinx；(3)y＝3xex－2x＋e；(4)y＝；(5)y＝ln(2x－5)．变式：给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导数，记为f″(x)＝[f′(x)]′，若f″(x)<0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在上是凸函数的是________(把你认为正确的序号都填上)．①f(x)＝sinx＋cosx；②f(x)＝lnx－2x；③f(x)＝

7、－x3＋2x－1；④f(x)＝xex.题型二　导数的几何意义命题点1　已知切点的切线方程问题例2　曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为________．命题点2　未知切点的切线方程问题例3已知函数f(x)＝xlnx，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为(　　)A．x＋y－1＝0B．x－y－1＝0C．x＋y＋1＝0D．x－y＋1＝0命题点3　和切线有关的参数问题例4　已知f(x)＝lnx，g(x)＝x2＋mx＋(m<0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x

8、)图象的切点为(1，f(1))，则m等于(　　)A．－1B．－3C．－4D．－2命题点4　导数与函数图象的关系例5　如图，点A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x≥0)，过点E作OB的垂线l.记△AOB在直线l左侧部分的面积为S，则函数S＝f(x)的图象为下图中的(　　)变式：(1)已知函数f(x)＝3x＋cos2x＋sin2x，a＝f′()，f′(x)是f(x)的导函数，则过曲线y＝x3上一点P(a，b)的切线方程为(　　)A．3x－y－2＝0B．4x－3y＋1＝0C．3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0D．3x－y－2＝0或4x－3y＋1＝0

9、(2)若直线y＝2x＋m是曲线y＝xlnx的切线，则实数m的值为________．若存在过点O