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1、第4章几何变换改变物体位置(position)、大小(size)、和方向(orientation)等的操作称为几何变换(Geometrictransformations)。如：•平移(translation)•旋转(rotation)•缩放(scaling)几何变换可用于改变物体的形状、动画生成等。本节讨论二维和三维物体的几何变换及其矩阵表示:•二维几何变换(Two-dimensionalgeometrictransformations)•三维几何变换(Three-dimensionalgeometri
2、ctransformations)4.1基本二维几何变换(Basictwo-dimensionalgeometrictransformation)这里所说的基本变换主要是指平移、旋转和缩放三种变换。1.平移变换(Translation)设有坐标点,要平移到,平移的增量为因此有如下的平移公式：P’=P+T。0123456786543210pP’T线段和多边形的平移可以通过顶点的平移来实现。同样线段和多边形的其它几何变换也可以通过对顶点的几何变换来实现。2.旋转变换(Rotation)二维旋转有两个参数：旋
3、转中心：旋转角：0123456786543210PP’？设OP与x轴的夹角为则：因此01234566543210PP’因此得到一般的旋转变换公式：特别地，当旋转中心为坐标原点时，有3.缩放变换(Scaling)缩放变换就是对点的坐标进行比例放大或缩小。二维缩放变换也有两个参数：x方向的缩放系数：y方向的缩放系数：0123456786543210PP’？0123456786543210PP’4.2矩阵表示和齐次坐标(Matrixrepresentationandhomogeneouscoordinates
4、)在很多图形学应用中往往要对一个物体作多次变换后才得到目标物体。用矩阵表示变换，多个变换可以转换为矩阵的乘积，因此可高效实现复合变换。1.矩阵表示(Matrixrepresentation)前面三种变换都可以表示为如下的矩阵形式是2乘2方阵，包含旋转或缩放项；是2乘1矩阵，包含平移项。2.齐次坐标(homogeneouscoordinates)为了把三种变换统一到一个矩阵乘积变换中，引入齐次坐标的概念。二维坐标(x,y)的三维表示(xh,yh,h)称为齐次坐标。从二维坐标到齐次坐标有如下关系：(x,y)
5、(xh,yh,h)反之：从齐次坐标到二维坐标有如下关系：特别地：h=1时的齐次坐标称标准齐次坐标，且：下面总记变换前的点为变换后的点为(x,y,h)(x/h,y/h)(x,y,1)(x,y)3.平移变换的齐次坐标表示根据平移变换的定义及齐次坐标概念有：记为：其中：4.旋转变换的齐次坐标表示这里只考虑旋转变换中心在原点的情形。由于因此旋转变换的齐次坐标矩阵表示为：记为其中：4.缩放变换的齐次坐标表示由于因此：即其中4.3逆变换(Inversetransformation)如果T把变换为，则把变换P的同类变
6、换称为T的逆变换。记为。这里直接给出逆变换的齐次坐标矩阵表示。1.平移变换的逆变换4.旋转变换的逆变换4.缩放变换的逆变换4.1.4复合变换(Compositetransformation)如果从一个点到另一个点需要经过多次基本变换达到，则称这样的变换为复合变换。这里以绕任意点旋转(Pivot-pointrotation)为例，讨论复合变换的矩阵乘积表示。二维旋转有两个参数：旋转中心：旋转角：上述变换可以分解为三个基本变换：•平移：使旋转中心移到坐标原点；•旋转：•平移：使旋转中心再移回原位。二维旋转有
7、两个参数：旋转中心：旋转角：因此上述变换可以写成矩阵乘积形式：4.5基本三维几何变换(Basicthree-dimensionalgeometrictransformation)三维几何变换与二维几何变换的概念完全类似。只是在具体实现时数学处理上稍有不同。同样我们也使用齐次坐标：1.平移变换(Translation)设有坐标点,平移的增量为平移到因此有如下的平移公式：P’=P+T。P’TP平移变换的齐次坐标表示根据平移变换的定义及齐次坐标概念有：记为：其中：线段和多边形的平移可以通过顶点的平移来实现。同
8、样线段和多边形的其它几何变换也可以通过对顶点的几何变换来实现。2.旋转变换(Rotation)三维旋转变换也有两个要素：旋转轴：旋转角：？PlP’A绕Z轴旋转设旋转角为。此时z坐标不变，而x,y坐标的变化与二维绕原点旋转情形完全相同：xyPP’z注：按右手螺旋法则旋转的角度为正，否则为负。因此用齐次坐标表示为：简记为B绕Y轴旋转设旋转角为。此时y坐标不变，而z,x坐标的变化与二维旋转情形完全相同：zxPP’y注：按右手螺旋法则旋转的角度为正
