广工1112高数下总复习ppt课件.ppt

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1、向量的线性运算向量的表示法向量积数量积混合积向量的积向量概念一向量代数直线曲面曲线平面参数方程旋转曲面柱面二次曲面一般方程参数方程一般方程对称式方程点法式方程一般方程空间直角坐标系（二）空间解析几何(1)加法：2、向量的线性运算(2)减法：(3)向量与数的乘法：向量的分解式：在三个坐标轴上的分向量：向量的坐标表示式：向量的坐标：3、向量的表示法向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式向量模长的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式4、数量积(点积、内积)数量积的坐标表达式两向量夹角余弦的坐标表示式投影的坐标表达式5、向量积(叉积、外积

2、)向量积的坐标表达式//右图三角形面积S＝6、混合积方程特点:平面曲线绕坐标轴旋转的旋转曲面4、平面.平面与直线[1]平面的点法式方程[2]平面的一般方程[3]平面的截距式方程[4]平面的夹角[5]两平面位置特征：//5、空间直线[1]空间直线的一般方程[3]空间直线的参数方程[2]空间直线的对称式方程直线直线^两直线的夹角公式[4]两直线的夹角[5]两直线的位置关系：//直线与平面的夹角公式[7]直线与平面的位置关系//[6]直线与平面的夹角B8直线与平面的关系是()（A）平行，但直线不在平面上（B）直线在平面上（C）垂直相交（D

3、）相交但不垂直解:40例.解:BC设z=f(P)=f(x,y),在区域D上有定义.则称f(P)在P0连续,P0称为f(P)的连续点.否则称f(P)在P0间断,P0称为f(P)的间断点.P=(x,y)D,P0=(x0,y0)D,二元函数的极限与连续若f(P)在D上每一点都连续,则称f(P)在D上连续,记为f(P)C(D).１．求极限例.f(x,y)=故f(x,y)在(0,0)点的极限不存在.式子不成立故在直线x+y=0上每一点都间断.没定义函数在（0，0）点不连续k值不同极限不同!解设沿直线趋于点则有例5讨论函数在(0,0)处的

4、连续性．解令故函数在(0,0)处连续.当时或１、极限２、设，要使在（0，0）处连续，则A=1。利用已有的一元函数的极限4函数。(A)处处连续(B)处处有极限，但不连续(C)仅在（0,0）点连续(D)除（0,0）点外处处连续=f(0,0)(A)1、函数在点(0,0)处：（）(A)连续且可导(B)不连续且不可导(C)连续但不可导(D)可导但不连续故不连续，但偏导存在D多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导3、设则1)中间变量多于两个的情形.例如,设下面所涉及的函数都可微.2)中间变量是多元函数的情

5、形.例如,多元复合函数求导两边对x求偏导两边对y求偏导3、由方程所确定的函数的全微分=解:两边微分得全微分形式不变性.微分形式不变性.解设，求。函数所确定求。消去得由解:两边微分得则函数在该点沿任意方向l的方向导数存在,且有平面情形定理αβ例1.求函数在点P(1,1,1)沿向量3)的方向导数.解:向量l的方向余弦为梯度方向梯度的模函数z=f(x,y)在某点的梯度是这样一个向量:由于沿梯度方向,方向,函数增长得最快,因此梯度的相反函数减少得最快;方向：模：f变化率最大(取得最大方向导数）的方向f的最大变化率之值梯度是一个向量梯度沿梯度

6、相反方向（-1，-1）方向导数最小，其值为沿梯度方向（1，1）方向导数最大，其值为B空间曲线的切线与法平面过点M与切线垂直的平面称为曲线在该点的法位置.空间光滑曲线在点M处的切线为此点处割线的极限平面.法平面方程切线方程曲面在点M的法向量法线方程切平面方程过M点且垂直于切平面的直线称为曲面在点M的法线注意选择函数例6.在椭圆上求一点，使其到直线的距离最短。解设P(x，y)为椭圆上任意一点，则P到直线的距离为求d的最小值点即求的最小值点。作=d2,当d2达最小值时，d达到最小值注意选择合适的目标函数，往往是顺利求解的关键！由lag

7、range乘数法，令得方程组解此方程组得于是由问题的实际意义最短距离存在，因此即为所求点。注意选择合适的目标函数，往往是顺利求解的关键！3.解分析:得例5.要设计一个容量为则问题为求x,y,令解方程组解:设x,y,z分别表示长、宽、高,下水箱表面积最小.z使在条件水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱,试问得唯一驻点由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的2倍时，所用材料最省.因此,当高为思考:1)当水箱封闭时,长、宽、高的尺寸如何?2)当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时,欲使造价最省,应如何设拉格朗日函数?长、宽

8、、高尺寸如何?提示:长、宽、高尺寸相等.令，得驻点解10求函数在条件下的极大值，从而证明对任意正数成立。其中由注意有条件取则得得二重积分的计算［X－型］（１）直角坐标系下［Y－型］3计算二重积分其中D是由曲线xy=2,y=1+x2及直