数列通项公式和数列求和--全面-最经典.doc

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1、数列通项公式的求法一、直接法根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999，…（2）（3）（4）解：（1）变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，……∴通项公式为：（2）（3）（4）.点评：关键是找出各项与项数n的关系例2：设数列的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若c1=2，c2=4，c3=7，c4=12，求通项公式cn解：设例3.已知数列中，，，其中b是与n无关的常数，且。求出用n和b表示的an的关系式。解析：递推公式一定可表示为的形式。由待定系

2、数法知：故数列是首项为，公比为的等比数列，故点评：用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前n项和公式为某一多项式，一般地，若数列为等差数列：则，（b、ｃ为常数），若数列为等比数列，则，。二、公式法①利用等差数列或等比数列的定义求通项②若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式求解.(注意：求完后一定要考虑合并通项)例1：已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f(x)=(x－1)2，且a1=f(d－1)，a3=f(d+1)，b1=f(q+1)，b3=f(q－1)，(1)求数列{an}和{b

3、n}的通项公式；解：(1)∵a1=f(d－1)=(d－2)2，a3=f(d+1)=d2，∴a3－a1=d2－(d－2)2=2d，∴d=2，∴an=a1+(n－1)d=2(n－1)；又b1=f(q+1)=q2，b3=f(q－1)=(q－2)2，∴=q2，由q∈R，且q≠1，得q=－2，∴bn=b·qn－1=4·(－2)n－1例2.等差数列是递减数列，且=48，=12，则数列的通项公式是（）(A)(B)(C)(D)解析：设等差数列的公差位d，由已知，解得，又是递减数列，∴，，∴，故选(D)。例3.已知等比数列的首项，公比，设数列的通项为，求数列的通项公式。

4、解析：由题意，，又是等比数列，公比为∴，故数列是等比数列，，∴点评：当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。例4:已知无穷数列的前项和为，并且，求的通项公式？【解析】：，，，又，.反思：利用相关数列与的关系：,与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键.跟踪训练1.已知数列的前项和，满足关系.试证数列是等比数列.例5：已知数列前n项的和为s＝a－3，求这个数列的通项公式。分析：用a替换s-s(n2)得到数列项与项的递推关系来求。解：a=a-3,a=6s＝a－3（nN）①s＝a－3(n2且nN)②①－②得

5、：a＝a－aa＝a，即＝3(n2且nN)数列是以a=6，公比q为3的等比数列.a＝aq＝63＝23。例6：已知正项数列中，s＝（a+），求数列的通项公式.分析：用s-s(n2)替换a得到数列与的递推关系来求较易。解s＝（a+），a=(a+)a=1又a＝s－s(n2且nN)s＝（s－s＋）2s＝s－s＋s＋s＝s－s＝1(n2且nN)数列是以a=1为首项，公差为1的等差数列。s＝1＋（n－1）1＝n，即s＝，当n2时，s－s＝a＝－将n＝1代入上式得a＝－练习：数列前n项和为，已知＝5－3（）,求例7．①已知数列的前项和满足．求数列的通项公式.②已知数列

6、的前项和满足，求数列的通项公式.③已知等比数列的首项，公比，设数列的通项为，求数列的通项公式。③解析：由题意，，又是等比数列，公比为∴，故数列是等比数列，，∴例8：数列前n项和.（1）求与的关系；（2）求通项公式.解：（1）由得：于是所以.（2）应用类型4（（其中p，q均为常数，））的方法，上式两边同乘以得：由.于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以三、归纳猜想法如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜想出数列的通项公式，然后再用数学归纳法证明之。也可以猜想出规律，然后正面证明。四、累加（乘）法对于形如型或形

7、如型的数列，我们可以根据递推公式，写出n取1到n时的所有的递推关系式，然后将它们分别相加（或相乘）即可得到通项公式。累加法：求形如=＋f(n)的递推数列的通项公式的基本方法。把原递推公式转化为，（其中f(n)能求前n项和即可）利用求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如的递推数列通项公式的基本方法（可求前项和）.例1.已知数列中，,求这个数列的通项公式。分析：由已知，得，注意到数列的递推公式的形式与等差数列的递推公式类似，因而，可累加法求数列的通项。解：数列中，，可得：以上各式相加，将n＝1代入上式得例2已知数列满足，求数列的通项公式。解：由得则所以

8、数列的通项公式为。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式例3: