巧解抛物线变换问题(李扬).doc

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1、巧解抛物线变换问题江西省会昌实验学校李扬一、抛物线的平移变换例1（2011•重庆市江津区）将抛物线：y=x2﹣2x向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是　　.巧解方法：直接在一般式的自变量和因变量上分别进行“左加右减”和“上加下减”.解：用x－4代替解析式中的x，并对其中的y（即原等式右边）加上3，就得到解析式：，展开并整理得y=x2﹣10x+27.故答案为：y=x2﹣10x+27.点评：本题主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式.二、抛物线的翻折与旋转变换例2（201

2、1•江西）将抛物沿c1：y=﹣x2+沿x轴翻折，得拋物线c2，如图所示．（1）请直接写出拋物线c2的表达式.（2）现将拋物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D，E.①当B，D是线段AE的三等分点时，求m的值；②在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由.巧解方法：抛物线y=ax2+bx+c若沿x轴翻折，所得图象的函数解析式

3、只需将原函数解析式中的y换成-y，即y=-ax2-bx-c；y=-ax2-bx-c若沿y轴翻折，所得图象的函数解析式只需将原函数解析式中的x换成-x，即y=ax2-bx+c；分析：（1）根据抛物线翻折的性质可求拋物线c2的表达式；（2）①求出拋物线c1与x轴的两个交点坐标，分当AD=AE时，当AB=AE时两种情况讨论求解；②存在．理由：连接AN，NE，EM，MA．根据矩形的判定即可得出．解：（1）把解析式y=﹣x2+中的y换成-y得-y=﹣x2+，即.（2）①令，得：，则抛物线c1与轴的两个交点坐标为（-1,0），（1,0）.∴A（-1-m，

4、0），B（1-m，0）.同理可得：D（-1+m，0），E（1+m，0）.当时，如图①，，∴.当时，如图②，，∴.∴当或2时，B，D是线段AE的三等分点.yxOADBEMN图②yxOADBEMN图①②存在.理由：连接AN、NE、EM、MA.依题意可得：.即M，N关于原点O对称，∴.∵，∴A，E关于原点O对称，∴，∴四边形ANEM为平行四边形.要使平行四边形ANEM为矩形，必需满足,即，∴.∴当时，以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形.点评：本题是二次函数的综合题型，考查了抛物线翻折和平移的性质，平行四边形和矩形的判定，注意分析题意分情况讨论结

5、果.例3求抛物线经过下列变换后的抛物线的解析式：（1）绕其顶点旋转180°；（2）绕坐标原点旋转180°巧解方法：抛物线y=ax2+bx+c绕顶点旋转180°，先将一般式化成顶点式，再根据变换前后开口方向改变和顶点不变，即，最后整理成一般式；抛物线y=ax2+bx+c绕原点旋转180°（关于原点对称），所得图象的函数解析式只需将原函数解析式中x换成-x，y换成-y即可，即y=-ax2+bx-c.解：（1）把一般式化为顶点式。注意到变换后的抛物线仅是开口方向发生了变化，而形状、大小和顶点均未变。故所求的解析式为，即。（2）因为旋转前后的两条抛物

6、线关于原点对称，所以用、分别代替函数中的x、y即得所求解析式为。点评：本题考查了抛物线旋转前后函数图象的性质，要求掌握旋转前后图象的特征与解析式中字母系数的关系。同步练习1、（2011•滨州）抛物线y=（x+2）2﹣3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是（　　）A、先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B、先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C、先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D、先向右平移2个单位，再向上平移3个单位分析：根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．解：抛物线y=x2向左平移2个单位可得到抛物线y=

7、（x+2）2，抛物线y=（x+2）2，再向下平移3个单位即可得到抛物线y=（x+2）2﹣3.故平移过程为：先向左平移2个单位，再向下平移3个单位.故选B.点评：本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减.2、（2011•呼和浩特）已知抛物线y1=x2+4x+1的图象向上平移m个单位（m＞0）得到的新抛物线过点（1，8）．（1）求m的值，并将平移后的抛物线解析式写成y2=a（x﹣h）2+k的形式；（2）将平移后的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，与平移后的抛物线没有变化的部分构成一个新的图象．请写

8、出这个图象对应的函数y的解析式，并在所给的平面直角坐标系中直接画出简图，同时写出该函数在﹣3＜x≤时对应的函数值y的取值范围；（3）设一次函数y3=nx+3（n≠0