二维随机变量的函数的分布ppt课件.ppt

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1、3.5二维随机变量的函数的分布由(X,Y)的分布导出Z=g(X,Y)的分布1一、(X,Y)为二维离散型随机变量若X和Y相互独立,则有2例1设(X,Y)的分布律为:XY1122101/122/122/121/121/1202/121/122/12试求Z=X+Y的分布律3解:由已知,可得:(X,Y)(2,1)(2,1)(2,2)(1,1)P1/122/122/121/12Z3102(X,Y)(1,1)(1,2)(0,1)(0,1)(0,2)P1/1202/121/122/12Z011124∴Z=X+Y的分

2、布律为:Z321012P1/121/124/123/121/122/125二、(X,Y)为二维连续型随机变量1.一般函数的分布即Z的分布函数是(X,Y)落入区域D:g(x,y)≤z的概率FZ(z)=P{Z≤z}=P{g(X,Y)≤z}fZ(z)=FZ(z)6设X和Y的联合密度为f(x,y),求Z=X+Y的密度.解:Z=X+Y的分布函数是:FZ(z)=P(Z≤z)=P(X+Y≤z)这里积分区域D={(x,y):x+y≤z}是直线x+y=z左下方的半平面.2.Z=X+Y型分布7化成累次积分,得固定z和y,对方括号内的积分作变量代

3、换,令x=u-y,得变量代换交换积分次序8由概率密度与分布函数的关系,即得Z=X+Y的概率密度为:由X和Y的对称性,fZ(z)又可写成以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式.9特别，当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分别为fX(x),fY(y),则上述两式化为:这两个公式称为卷积公式.下面我们用卷积公式来求Z=X+Y的概率密度10例2设X和Y是相互独立的随机变量,且都服从标准正态分布N(0,1).试求:Z=X+Y的概率密度解:FZ(z)=P{Z≤z}=P{X+Y≤z}11xyx+y=z令y=tx则12令13则可

4、见，Z～N(0,2)分布14一般,X与Y相互独立,且X～N(1,12),Y～N(2,22)则Z=X+Y仍然服从正态分布,且Z～N(1+2,12+22),还可推广:有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布15例3设X与Y相互独立,它们的概率密度分别为:试求:Z=X+Y的概率密度解:16当z<0时,当0≤z<1时,xy0z1FZ(z)=0fZ(z)=0=z1+ezfZ(z)=FZ(z)=1ez17当z≥1时,01zxy综合,得:=1+eze1zfZ(z)=FZ(z)=(e1)ez

5、18设X和Y的联合密度为f(x,y),求Z=X/Y的密度.解:Z=X/Y的分布函数是:FZ(z)=P(Z≤z)=P(X/Y≤z)这里积分区域D={(x,y):x/y≤z}为阴影部分的面积.xyX/Y=z3.Z=X/Y型分布19化成累次积分,得固定z和y,对方括号内的积分作变量代换,令x=yu,得xy20交换积分次序变量代换21由概率密度与分布函数的关系,即得Z=X/Y的概率密度为:特别地，如果X和Y相互独立，则上式可写成：22例4设X与Y相互独立,它们的概率密度分别为:求的概率密度解:FZ(z)=P{Z≤z}23xy当z≤0时,当z

6、>0时,FZ(z)=024254.Z=max{X,Y}或Z=min{X,Y}的分布(1)Z=max{X,Y}的分布函数:FZ(z)=P{Z≤z}若X与Y相互独立则FZ(z)=P{X≤z}P{Y≤z}=FX(z)FY(z)=P{X≤z,Y≤z}26(2)Z=min{X,Y}的分布函数:FZ(z)=P{Z≤z}=1P{Z>z}=1P{X>z,Y>z}若X与Y相互独立则FZ(z)=1P{X>z}P{Y>z}=1[1P{X≤z}][1P{Y≤z}]=1[1FX(z)][1FY(z)]27例5对某种电子装置的输出测量了5次,

7、得到的观察值为X1,X2,X3,X4,X5,设它们是相互独立的装置,且都服从同一分布试求:Z=max{X1,X2,X3,X4,X5}>4的概率28P{Z>4}=1P{Z≤4}=1FZ(4)由已知,有FZ(z)=[F(z)]5则P{Z>4}=1[F(4)]5=1(1e－2)5解:291.要理解二维随机变量的概念及其分布函数的定义及性质3.要理解二维随机变量的边缘分布以及与联合分布的关系2.会求二维离散型随机变量的分布律和二维连续型随机变量的分布函数4.要理解随机变量的独立性5.要会求二维随机变量的函数的分布及多维随机变量的极

8、值分布小结30