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1、3.4基本不等式思考:这会标中含有怎样的几何图形?思考:你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系?探究1ab问2:Rt△ABF,Rt△BCG,Rt△CDH,Rt△ADE是全等三角形,它们的面积和是S’=———问1:在正方形ABCD中,设AF=a,BF=b,则正方形的面积为S=————,问3:S与S’有什么样的关系?从图形中易得,s>s’,即探究1探究2问题1:s,S’有相等的情况吗?何时相等?图片说明:当直角三角形变为等腰直角三角形,即a=b时,正方形EFGH缩为一个点,这时有形的角度数的角度当a=b时a2+b2-2
2、ab=(a-b)2=0结论:一般地,对于任意实数a、b,我们有当且仅当a=b时,等号成立此不等式称为重要不等式探究2问题2:当a,b为任意实数时,成立吗?类比联想推理论证(特别的)如果也可写成a>0,b>0,当且仅当a=b时“=”号成立此不等式称为基本不等式探究3aboABPQ对基本不等式的几何意义作进一步探究:如图,AB是圆o的直径,Q是AB上任一点,AQ=a,BQ=b,过点Q作垂直于AB的弦PQ,连AP,BP,则PQ=____,半径AO=_____几何意义:圆的半径不小于圆内半弦长探究4算术平均数几何平均数a>0,
3、b>0,当且仅当a=b时“=”号成立此不等式称为基本不等式概念:1.基本不等式:a=b知识要点:(当且仅当________时取“=”号).如果a≥0,b≥0,那么≥已知都是正数,试探究:(1)如果积是定值P,和是否有最小值?若有,那么当时,最小值为:(2)如果和是定值S,积是否有最大值?若有,那么当时,最大值为探究5(1)如果a,b>0,且ab=P(定值),那么a+b有最____值______(当且仅当_____时取“=”).(2)如果a,b>0,且a+b=S(定值),那么ab有最____值______(当且仅当____
4、__时取“=”).2.利用基本不等式求最值问题:小大利用基本不等式求最值的条件:一正、二定、三相等。一.知识要点a=ba=b应用基本不等式求最值的条件:a与b为正实数若等号成立,a与b必须能够相等一正二定三相等积定和最小和定积最大(a>0,b>0)强调:求最值时要考虑不等式是否能取到“=”(1)把36写成两个正数的积,当这两个正数取什么值时,它们的和最小?(2)把18写成两个正数的和,当这两个正数取什么值时,它们的积最大?【应用练习】练习:已知三角形的面积等于50,两条直角边各为多少时,两条直角边的和最小?最小值是多少?
5、例题1(2)一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面最大?面积最大值是多少?练习:用20m长的铁丝折成一个面积最大的矩形,应当怎样折?练习:做一个体积为32,高为2m的长方体纸盒,底面的长与宽取什么值时用纸最少?xy2例题讲解例4.求函数的最大值,及此时x的值。2、已知则xy的最大值是。1、当x>0时,的最小值为,此时x=。213、若实数,且,则的最小值是()A、10B、C、D、D4、在下列函数中,最小值为2的是()A、B、C、D、C高考欣赏1.设>0,>0,若是与的等比中项,则得最小
6、值为()A.8B.4C.1D.(2009年天津理6)B例6已知a,b,c为正数,且a+b+c=1,求的最小值.例7已知a,b,c为正数,且a+b+c=1,求的最大值.当时,取最小值9.当时,取最大值拓展提高D1.两个不等式(1)(2)当且仅当a=b时,等号成立注意:1.两公式条件,前者要求a,b为实数;后者要求a,b为正数。2.公式的正向、逆向使用的条件以及“=”的成立条件。2.不等式的简单应用:主要在于求最值把握“七字方针”即“一正,二定,三相等”课堂小结3.利用基本不等式求最值时,如果无定值,要先配、凑出定值,再利用
7、基本不等式求解。4.形如这类函数,当不能利用基本不等式求最值时,可以借助函数单调性求解。重要变形2基础知识(由小到大)一利用基本不等式证明不等式