最大公因数和最小公倍数.docx

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1、最大公因数和最小公倍数一.教学重点和难点：教学重点：1.掌握计算三个数的最大公因数和最小公倍数的方法。2.介绍辗转相除的方法计算最大公因数和最小公倍数。3.最大公因数和最小公倍数的性质。4.利用最大公因数和最小公倍数解决生活中的实际问题。5.利用最大公因数和最小公倍数解决一些有特点的数字的问题。教学难点：1.掌握计算三个数的最大公因数和最小公倍数的区别。2.能够通过分解质因数方法的分析，理解最大公因数和最小公倍数之间存在的性质。3.利用最大公因数和最小公倍数解决问题时，对数字特点的观察。二简要知识介绍：最大公因数和最小公倍数在计算的时候我们一般采用的方法是短

2、除的方法，它们在计算时的最大区别在于所需要的质因数是不同的，最大公因数是取公有的质因数，最小公倍数是公有的质因数（代表）和独有的质因数都要。但是在两个数不容易看出公因数的时候，我们也可以采取辗转相除的方法进行计算。具体的方法是：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数，再用第一个余数除小的一个数，得到第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数，这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止。那么最后一个除数就是所求的最大公约数。最大公因数和最小公倍数之间还存在着性质：两个自然数的乘积等于这两个自然数的最大公约数和最小公倍数的乘积。若a、b表示

3、两个自然数，则a×b=（a，b）×[a，b]在利用最大公因数和最小公倍数解决实际生活中的问题的时候，首先要分清计算的是哪个？然后再进行计算。三.知识教学：（一）求三个数的最大公因数和最小公倍数的方法。例1.求20、30和36的最大公因数和最小公倍数（1）我们先来计算这三个数的最大公因数列举法20的因数有：1、2、4、5、10、2030的因数有：1、2、3、5、6、10、15、3036的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36三个数的最大公因数是2分解质因数的方法20=2×2×530=2×5×336=2×2×3×3（20，30，36）=2短除的方法（2

4、0，30，36）=2（2）我们再来计算它们的最小公倍数列举法20的倍数有：20、40、60、80……30的倍数有：30、60、90、……36的倍数有：36、72、……分解质因数的方法20=2×2×530=2×5×336=2×2×3×3[20，30，36]=2×2×3×5×3=180短除的方法（20，30，36）=2[20，30，36]=2×2×3×5×3=180（3）对比比较分解质因数的方法20=2×2×530=2×5×336=2×2×3×3（20，30，36）=2[20，30，36]=2×2×3×5×3=180比较短除的方法（20，30，36）=2[20，

5、30，36]=2×2×3×5×3=180（4）小结：在计算三个数的最大公因数和最小公倍数的时候，最大公因数要找三个数的公有的质因数，如果其中的两个商还有质因数的话，也不要往下除。最小公倍数的计算要把三个数的公有质因数和独有质因数都要找全，最后除到两两互质为止。（二）辗转相除法。1.方法介绍：辗转相除法是求两个数的最大公约数的一种方法。辗转相除法又叫做欧几里德除法。2.用辗转相除法计算两个数的最大公约数。用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数，再用第一个余数除小的一个数，得到第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，

6、得第三个余数，这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止。那么最后一个除数就是所求的最大公约数（如果最后的余数是1，那么原来的两个数互质）。例2.求792和1134的最大公约数。1134÷792=1……342792÷342=2……108342÷108=3……18108÷18=6（没有余数）∴（792，1134）=18用辗转相除法在短除计算两个数的最大公约数有困难的时候，效果尤其显著。3.如何用辗转相除法计算两个数的最小公倍数呢？先计算出最大公约数，再用两数之积除以最大公约数，商就是最小公倍数。例3.792和1134的最小公倍数。先用辗转相除法计算出

7、两个数的最大公约数18（方法见上）。[792，1134]==49896（三）最大公约数和最小公倍数的性质。例4.求18和24的最大公约数和最小公倍数（1）用分解质因数的方法独立完成（18，24）=2×3=6[18，24]=2×3×3×2×2=72（2）观察发现：18×24=4×72（3）小结：两个自然数的最大公约数与它们的最小公倍数的一个重要的性质是：两个自然数的乘积等于这两个自然数的最大公约数和最小公倍数的乘积。若a、b表示两个自然数，则a×b=（a，b）×[a，b]例5.两个数的最大公约数是6，最小公倍数是504，如果其中的一个数是42，那么另一个数是多

8、少？分析与解答：根据ab=（a，b）×[a，b]又知