线性微分方程的一般理论ppt课件.ppt

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1、第四章高阶线性微分方程Higher-OrderLinearODE1§4.1高阶线性微分方程的一般理论§4.2常系数高阶线性方程的解法§4.3高阶方程的降阶和幂级数解法本章内容2§4.1高阶线性微分方程的一般理论3理解高阶齐次线性方程解的性质和解的结构理解高阶非齐次线性方程解的性质和解的结构要求4n阶线性微分方程一般形式：其中是区间上的连续函数。n阶齐次线性微分方程(f(t)=0)4.1.1引言n阶微分方程一般形式：n阶非齐次线性微分方程(f(t)≠0)5方程（4.1）的解的存在唯一性定理:上，且满足初始条件：定理1及都是区间则对于任一

2、及任意的方程（4.1）存在，定义于区间上的连续函数,唯一解如果64.1.2齐线性方程解的性质与结构定理2（叠加原理）如果则它们的线性组合的解，这里是任意常数。是方程（4.2）也是（4.2）的k个解，例有解乘以常数线性相加7问题：时，若能否成为方程（4.2）的通解？不一定不包含解要使为方程（4.2）的通解还需满足一定的条件。当是齐线性方程的解，如在上例中8函数线性无关和相关定义在上的函数，如果存在使得恒等式不全为零的常数对所有成立，称这些函数是线性相关的，否则称是线性无关的。例.判断下列函数是否线性相关。上线性无关上线性相关上线性无关9定义在

3、区间上的k个可微k-1次的函数所作成的行列式称为这些函数的朗斯基行列式。朗斯基(Wronsky)行列式10定理3在区间上线性相关，上它们的伏朗斯基行列式。则在证明思路若函数Ax=0非零解零解

4、A

5、≠0

6、A

7、=0线性相关构造关于c的方程组系数为W(t)11关于的方程组，证明由假设，即知存在一组不全为零的常数（4.6）（4.7）使得依次对t微分此恒等式，得到系数行列式方程组存在非零解的充要条件是证毕12其逆定理是否成立？例如：即朗斯基行列式为零，相应的函数也可能是线性无关的。不一定线性无关故13W(t)=0，是线性无关的。14如果方程(4.2)

8、的解在区间上线性无关，则任何点上都不等于零，即在这个区间的定理4设有某个，使得构造的齐次线性代数方程组，非零解证明思路反证法矛盾!!15例：易知，是其线性无关解16线性无关定理4定理3重要结论方程(4.2)的解在区间上线性无关的充分必要条件是线性相关线性无关x1(t),…,xn(t)是方程（4.2）的解17定理5n阶齐线性方程(4.2)一定存在n个线性无关的解。证明思路构造n个线性无关的解W(t)≠0解的存在唯一性构造法满足初始条件，解唯一线性无关构造解特殊初值18本例阐述了定理5的证明思路：考虑初始条件设有如下齐次线性微分方程，设法构造其

9、线性无关解由解的存在唯一性定理知，对应2个解，对应的W(t)如下故2个解线性无关!19定理6（通解结构）其中是任意常数，且通解（4.11）是方程（4.2）的n个线性无关的解，则方程（4.2）的通解可表为（4.11）包括方程（4.2）的所有解。如果20证明思路(1)有n个任意常数是（1）的解是n个任意独立常数则称是方程（1）的通解，如果对方程独立指什么是通解？21（4.11）(4.11)是(4.2)的解叠加原理c1,…,cn独立W(t)≠0(4.11)是(4.2)的通解线性无关由定义22包含所有解？解存在唯一性定理解由初始条件决定可唯一确定满

10、足方程(4.2)对给定的初始条件W(t)≠0线性无关AX=b,若

11、A

12、≠0，解唯一23方程(4.2)的线性无关解的最大个数等于n。推论n阶齐次线性微分方程的所有解构成一个n维线性空间。思路：第n+1个可由n个线性无关解的表示。24方程(4.2)的一组n个线性无关解称为它的一个基本解组。基本解组标准基本解组若一个基本解组对应的W(t0)=1，称为标准基本解组。254.1.3非齐线性方程与常数变易法性质1如果是方程（4.1）的解，而（4.2）的解，则性质2方程（4.1）的任意两个解之差必为方程（4.2）的解。是方程也是方程（4.1）的解。26是

13、任意常数，且通解（4.14）包括定理7为方程（4.2）的基本解组，是方程（4.1）的某一解，则方程（4.1）的通解为其中（4.14）设方程（4.1）的所有解。证明1)（4.14）一定是方程（4.1）的解，且含有n个独立的任意常数，是通解。2)是方程（4.1）的任一个解，则是方程（4.2）的解证毕27非齐线性方程齐线性方程非齐线性方程通解特解基本解组表示关键？28设为方程（4.2）的基本解组，为（4.2）的通解。（4.15）（4.16）常数变易法为（4.1）的解。从(4.16)出发，构构造（4.1）的一个特解。29令30（4.16）代入方程（

14、4.1）31方程组有唯一的解，设为（4.16）32特解通解非齐线性方程的通解等于对应齐次方程的结构:通解与自身的一个特解之和。33例1求方程基本解组为，的通解，已知它对应齐线性方