幂函数与二次函数ppt课件.ppt

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1、第六节幂函数与二次函数【知识梳理】1.幂函数(1)定义:形如_____(α∈R)的函数叫幂函数,其中x是_______,α是常数.(2)幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x-1的图象与性质:y=xα自变量RRR{x

2、x≥0}{x

3、x≠0}R{y

4、y≥0}R{y

5、y≥0}{y

6、y≠0}奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数在R上单调递增在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增在R上单调递增在(0,+∞)上单调递增在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减(1,1)2.二次函数(1)解析式:ax2+bx+c(h,k)(2)图象与性质:b=0【考点

7、自测】1.(思考)给出下列命题：①函数y=2x是幂函数；②如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点；③当n＜0时，幂函数y=xn是定义域上的减函数；④二次函数y=ax2+bx+c,x∈[m,n]的最值一定是⑤关于x的不等式ax2+bx+c＞0恒成立的充要条件是其中正确的是()A.①③B.②C.③④D.④⑤【解析】选B.①错误，不符合幂函数的定义.②正确，因若相交，则x=0得y=0，若y=0，则得x=0.③错误，幂函数y=x-1在定义域上不单调.④错误，当-∉［m,n］时，二次函数的最值，在区间端点达到，而非⑤错误，由ax2+bx+c＞0恒成立不一定有

8、因为a可以为0.2.函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数,则f(x)在区间(-5,-3)上(　　)A.先减后增B.先增后减C.单调递减D.单调递增【解析】选D.因为f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数,所以2m=0,所以m=0.则f(x)=-x2+3在(-5,-3)上是增函数.3.已知函数f(x)=ax2+x+5的图象在x轴上方，则a的取值范围是()【解析】选C.由已知得解得a＞4.图中C1,C2,C3为三个幂函数y=xk在第一象限内的图象,则解析式中指数k的值依次可以是(　　)A.-1,,3B.-1,3,C.,-1,3D.,3,-1【

9、解析】选A.设C1,C2,C3对应的k值分别为k1,k2,k3,则k1<0,01,故选A.5.(2014·株洲模拟)如果函数f(x)=x2+(a+2)x+b(x∈[a,b])的图象关于直线x=1对称,则函数f(x)的最小值为.【解析】由已知得解得所以f(x)=x2-2x+6=(x-1)2+5,x∈[-4,6].故f(x)min=f(1)=5.答案:5考点1幂函数及其图象与性质【典例1】(1)(2014·恩施模拟)若则a,b,c的大小关系是()A.a

10、象关于y轴对称，且在(0，+∞)上是减函数，求满足(a+1)<(3-2a)的实数a的取值范围.【解题视点】(1)利用幂函数与指数函数的单调性比较.(2)首先根据单调性求m的范围，其次由图象的对称性确定m的值，最后根据的大小，求解关于a的不等式.【规范解答】(1)选D.因为y=在第一象限内是增函数，所以因为y=是减函数，所以所以b

11、2舍去，因此m=1.又y=x在[0,+∞)上为增函数，所以(a+1)<(3-2a)等价于0≤a+1<3-2a,解之得-1≤a<,故实数a的取值范围是{a

12、-1≤a<}.【易错警示】注意对所求值的检验本例第(2)题在求得m的值后要注意检验是否符合题意,否则易导致错解.【规律方法】1.利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂,选择适当的幂函数,借助其单调性进行比较或应用.2.幂函数的指数与图象特征的关系当α≠0,1时,幂函数y=xα在第一象限的图象特征:【变式训练】(1)(2014·大同模拟)函数y=的图象大致是()【

13、解析】选C.y=，其定义域为x∈R，排除A，B，又0＜＜1，图象在第一象限为上凸的,排除D，故选C.(2)(2014·包头模拟)若a<0，则下列不等式成立的是()【解析】选B.因为a<0,所以y=xa在(0,+∞)上是减函数,且函数值大于零，所以故选B.【加固训练】1.如图给出4个幂函数大致的图象，则图象与函数对应正确的是()A.①y=x,②y=x2,③y=x,④y=x-1B.①y=x3,②y=x2,③y=x,④y=x-1C.①y=x2,②y=x3,③y=x,④y=x-1D.①y=x,②y=x,③y=x2,④y=x-1【解析】选B.根据常见幂函数的图象判断

14、或取特殊值,逐个验证知B正确.2.已知0≤α≤5且α∈Z,若幂函数